9-6空间向量分解理论.doc

§9.6空间向量分解定理 教学目的：要求学生掌握空间向量的分解定理，能用三个不共面的向量表示一个向量；或一个向量分解为三个不共面的向量。 教学重点 空间向量的分解定理 教学难点 将任一向量表示成空间的一个基的线性组合 教学方法 教师在讲课过程中设置大量的小问题，由学生讨论得出结论。 教学时数 二学时 教学过程 复习引入新课： 师：我们在上学期学习过平面向量分解定理，它的内容是什么呢？ 生：设，是平面上不共线的两个向量，则平面上的每一向量可以由和线性表出，并且表出方式 唯一。 师：什么是线性表出？ 生：即表示为 x+ y。 师：什么是向量的坐标？ 生：表示为 x+ y后称（x， y）为向量在基，下的坐标。（投影） 师：那么对于空间中的任意向量能否进行分解，从而确定其坐标呢？这就是今天我们要研究的课题。 二、讲授新课： 空间向量分解定理（投影）：在空间中取定三个不共面的向量，，，则空间中的每一向量可以唯一地表示成，，的线性组合：=a1+ a2+ a3,其中a1， a2， a3是实数。 证明（黑板上板演，此处教师提问多个小问题，由学生回答，从而完成证明）： 如图1 D A α O 图1 ，，是空间中三个不共面的向量，其中表示，的有向线段在平面α内，表示的有向线段不在平面α内，它们的起点都是点O。 如果=，则=0+0+0。下面设。 如果与共线，则存在实数λ使得=λ=0+0+λ。下面设与不共线。 作有向线段表示向量。点A和向量确定一条直线l。设l与平面α相交于点M，连接OM。由于有向线段在平面α内，且与不共线（因为，，不共面），因此据平面向量分解定理，得 = a1+ a2 （3）， 其中a1， a2是实数。 又由于与共线，因此存在实数a3，使得 = a3 （4） 从（3）式和（4）式得 ==+= a1 +a2+a3 （5） 综合以上情况可知：向量 可以表示成 ，，的一个线性组合。 师：唯一性的证明比较复杂，此处不再证明了，有兴趣的同学可以看看。 注（投影）：(1) 空间中取定的三个不共面向量，，称为空间的一个基。 (2) 有序数组（a1， a2， a3）称为向量在基，， 下的坐标。 用空间向量的坐标做向量的有关运算 师：在平面向量中，我们讲了如何用平面向量的坐标来作向量的有关运算，在空间向量中也有类似的结论（以下结论，先由学生猜，教师再投影） 设空间取定了一个基，，，设向量 , 在这个基下的坐标分别为（a1， a2， a3）和 （b1， b2， b3）.则 = a1= b1， a2= b2， a3= b3即两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。 讨论： +，-， k在基，，下的坐标分别为什么？ 证明(板演)： 1? += （a1 +a2+a3） +（ b1 +b2+b3）=（a1+ b1）+（a2+ b2）+（a3+ b3） 2? -= （a1 +a2+a3）-（ b1 +b2+b3）=（a1- b1）+（a2- b2）+（a3-b3） 3? = k（a1 +a2+a3）= （ka1）+（ka2）+（ka3） 结论：（1）平面向量和与差的坐标： +在基，，下的坐标为（a1+ b1， a2+ b2， a3+ b3），, -在基，，下的坐标为（a1- b1， a2-b2， a3-b3）， 即两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。 （2）实数与向量的积的坐标： k的坐标为（ka1， a2，k a3）， 即实数λ与向量的乘积的坐标等于此实数λ乘向量的坐标。 3.应用: 例1 (投影)如图，正方体的棱AB，AD，AA1不共面，取，，为空间的一个基。分别求向量，在这个基下的坐标。 解（学生）：因为=1+0+0， 所以在基，，下的坐标为（1，0，0）。 因为=+=++， 所以在基，，下的坐标为（1，1，1）。 例2 证明：如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行。 分析：根据直线与向量间的关系，我们要想证明两条直线平行，可以首先证明两条直线的方向向量共线， 如果再能说明两条直线没有公共点，就可以证明两条直线是平行的了。 证明（