2012江苏省数学竞赛《提优教程》第四十讲格点.doc

第40讲 格点 节主要内容有格点的概念，及格点在解题中的应用． 格点，又叫整点，指的是在直角坐标系中，每个坐标都是整数的点．或者直接在平面上取两组互相垂直的平行线(在空间中就取三组互相垂直的平行平面)，相邻的两条平行线的距离相等，这两组平行线的交点就是格点．当一个多边形的所有顶点都是 两组互相垂直的平行线，相邻的两条平 行线的距离相等，这两组平行线的交点就是格点．关于格点多边形，有下列定理： 定理1 (皮克定理)设格点多边形内部有N个格点，边界上有L个格点，则其面积 S=N+L－1． (证明略) 定理2 边与两轴平行的正方形(顶点不一定是格点)，如果其面积大于1，则其内部至少有一个格点．[来源:学科网] 证明 如图，设点A、B的横坐标分别为a，b，则r＝b－a＞1． 若a为整数，则a＋1＜b，而a＋1为整数，此时，直线x＝a＋1穿过正方形ABCD内部；若a不是整数，[a]是不超过a的最大整数，{a}＝a－[a]，有0＜{a}＜1，此时a＝[a]＋{a}＜[a]＋1＝a－[a]＋1＝a＋1－[a]＜b－[a]＜b．即直线x＝[a]＋1穿过正方形内部．总之，正方形内部有一条竖直格线穿过． 同理，正方形内部有一条水平格线穿过．即其正方形内部有一个格点． A类例题 例1 ⑴ 内部不含格点的圆，其面积≤． ⑵ 内部恰有一个格点的圆，其半径不大于1． 分析 本题是定理2的一个直接应用． ⑴证明 如果圆的面积＞，则其半径＞其内接正方形边长＞1．由定理2可知其内部必有格点．故证． ⑵ 证明 设⊙O有内部恰有一个格点，且其的半径＞1． 圆心O必在某个格点正方形ABCD内或在其边上．从而A、B、C、D至少有三点在⊙O外或⊙O上．于是相对的两个顶点A、C或B、D同在⊙O外或⊙O上，例如B、D在⊙O外(或⊙O上)．于是BO≥1，DO≤1．即O应在以B、D为圆心，1为半径的圆外(或边界上)，又在正方形ABCD内部，这是不可能的． 例2 ⑴ 找出内部恰有0个、1个、2个、3个、4个格点的面积最大的圆． ⑵ 能否找到内部恰有5个格点的面积最大圆？ ⑴解 (如图)内部恰有0个格点的面积最大圆的半径＝； 内部恰有1个格点的面积最大圆的半径＝1； 内部恰有2个格点的面积最大圆的半径＝； 内部恰有3个格点的面积最大圆的半径＝； 内部恰有4个格点的面积最大圆的半径＝． ⑵解 如左图画的是内部有5个格点且过4个格点的圆，其半径＝．但这圆不是内部有5个格点的面积最大圆． 如右圆，取内部恰有四个格点的面积最大圆(虚线画的圆)，其圆心为O，点P1、P2、P3、…、P8等8个格点在此圆上，其半径＝＞． 可以作一个圆使原来四个在圆内的格点仍在此圆内，且使P1在圆内而原来在圆上的其他格点都在圆外．为此取P1P8、P2P3的垂直平分线l1、l2，则在这两条直线围出的右上平面内的点，到P1的距离比到P8的距离小，到P2的距离比到P3的距离小，再作P2P8的垂直平分线l3，则l3上的点到P2、P8距离相等，现在l3上靠近点O取一点Q，以Q为圆心，QP2为半径画一圆，显然，此圆内恰有5个格点． 只要点Q充分接近O，则⊙Q的半径充分接近，但圆内恒有5个格点．即没有圆内恰有5个格点而面积最大的圆． 情景再现 1．内部不含格点的正方形，其面积≤2． 2．找出内部恰有1个，2个格点的面积最大的正方形． B类例题 例3 求证：对任何n(n∈N)，可以作一个圆，恰盖住n个格点(格点在圆内部)． 分析 只要能证明，平面上存在一点，到所有格点的距离两两不等．为此，可以利用“无理数不等于有理数”来解． 证明 取一点，其两个坐标都是无理数，例如取点W(，)，先证明，以W为圆心，任意长为半径作的圆，至多通过一个格点． 设某个以W为圆心的圆通过两个格点(m，n)，(p，q)(m，n，p，q∈Z)， 则(m－)2+(n－)2＝(p－)2+(q－)2． 展开整理得，m2+n2－p2－q2＝2(p－m)+2(q－n)． 左边是有理数，右边当且仅当p＝m，q＝n时为有理数．故证． 于是可知以W为圆心的圆至多通过一个格点． 现考虑，平面上所有的点与W的距离，这些距离没有两个相等．把所有的格点与点W的距离按从小到大排队0＝r0＜r1＜r2＜r3＜…＜rn＜…．取线段r，满足rn＜r＜rn+1，以W为圆心，r为半径作圆，则此圆内恰有n个格点． 说明 本题即是辛泽尔定理，利用本题的结果可以解1987年的全国高中联赛题二试第2题． 若a与b是互质的正整数，证明 ＋＋＋…＋＝(a－1)(b－1)． 分析 研究数[ka](k，a∈N*)的几何意义：取函数y＝kx，这是一条直线，在直线上取一点(a，ka)，在连结点(a，0)与点(a，ka)的线段上(不含点(a，0)而含点(a，ka)时)，恰有[ka]个格点． 证明