2012江苏省数学竞赛《提优教程》第五5讲轨迹.doc

第5讲 轨迹 1．半径为1的圆C过原点O，Q为圆C与x轴的另一个交点，OQRP为平行四边形，其中RP为圆C的切线，P为切点，且点P在x轴上方，当圆C绕原点O旋转时，求R点的轨迹． 分析 当圆C绕原点O旋转时，圆心C到原点O的距离|OC|＝1，所以圆心C运动的轨迹是单位圆，由于R点与圆心有关，所以只要把圆心的坐标用R点的坐标表示，再代入C点的轨迹方程，便可得到R点的轨迹方程． 解 设圆心C(x0，y0)，则Q(2x0，0)且由PR∥OQ，RP与圆C相切知，P(x0，y0＋1)，从而R(3x0，y0＋1)． 因为|OC|＝1，即x＋y＝1R(x，y)，则x＝3x0，y＝y0＋1，即x0＝，y0＝y－1． 代入上式，得＋(y－1)2＝1(x≠0)． 说明 本题采用的方法是求轨迹方程的常用方法——代入法：如果轨迹动点P(x，y)依赖于另外的动点Q(a，b)，而Q(a，b)又在某已知曲线上，则可以先列出关于x、y、a、b的方程组，利用x、y表示出a、b，再把a、b代入已知曲线方程，从而求得动点P的轨迹方程． 例2．已知双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，且以y轴为右准线，并过定点P(1，2)． (1)求此双曲线右焦点F的轨迹； (2)过P与F的弦与右支交于Q点，求Q点的轨迹方程． 解 (1)由于2a＝b＋c，则b2＝4a2＋c2－4ac，所以e＝， 设右焦点F(x，y)，又双曲线定义，得＝， 所以(x－1)2＋(y－2)2＝． 所以，双曲线的右焦点F的轨迹是以(1，2)为圆心，为半径的圆． (2)设Q(x，y)，由双曲线的定义，得＝＝e，所以，＝， 即＝(1＋x)，整理得9x2－16y2＋82x＋64y－55＝0． 说明 本题采用的方法一般称为直接法：直接利用题目中的等量关系，或利用平面几何知识推出等量关系，从而求出轨迹方程． 例3．一动圆过点(0，6)且与圆x2＋y2＝100内切．求这动圆圆心的轨迹． 分析 根据已知条件，可设动圆圆心为(x，y)，动圆半径为r．因为动圆过点(0，6)，则＝r．又因为与圆x2＋y2＝100内切，则＝10－r，消去参数r即可． 解 设F(0，6)，动圆圆心P(x，y)，半径为r(r＞0)． 由动圆过F，则|PF|＝r． 又动圆与圆x2＋y2＝100内切，则|OP|＝10－r， 于是点P满足|PO|＋|PF|＝10， 即点P的轨迹为{P||PO|＋|PF|＝10}． 由椭圆的定义，点P的轨迹是以(0，3)为中心，长轴为10，短轴为8，焦点在y轴上的椭圆． 即方程为＋＝1． 说明 本题所采用的方法一般称为定义法． 情景再现 1．已知ΔABC中，A为动点，B、C为定点，B(－，0)，C(，0)，且满足sinC－sinB＝sinA，则动点A的轨迹方程为______________________． 2．已知抛物线y2＝x＋1，定点A(3，1)，B为抛物线上任一点，点P在线段AB上，且＝，当点B在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．[来源:学§科§网Z§X§X§K] 3．过抛物线y2＝2px(p＞0)的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB，求线段AB中点M的轨迹方程． B类例题 例4．已知椭圆＋＝1，直线l：＋＝1P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线(1995全国) 解 设P，R，Q的坐标分别为(xP，yP)，(xR，yR)，(x，y)，其中x，y不同时为零． 由题设|OQ|·|OP|＝|OR|2，则x·xP＝xR2．设OP的方程为y＝kx． 由得xP2＝， 由得xR2＝， 因为x·xP＝xR2，则得 这就是Q点的参数方程，消去参数k得 ＝1，(其中x、y不同时为零)． 当P在y轴上时，k不存在，此时Q(0，2)满足方程， 故Q点轨迹是以(1，1)为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点．说明 本题也可以用极坐标来解决：设Q(?cosθ，?sinθ)，P(?1cosθ，?1sinθ)，R(?2cosθ，?2sinθ)．于是有?(2cos2θ＋3sin2θ)＝48，?(2cosθ＋3sinθ)＝4，?＝，?2＝． 从而得?＝＝． 所以?2(2cos2θ＋3sin2θ)?(4cosθ＋sinθ)，＋＝＋．1979年广西省赛题) 分析 可以先设出两条切线方程和切点交点坐标，然后根据与椭圆相切的条件，求出相应的关系，最后设法消去参数即可． 解 设椭圆的方程为＋＝1，交点为(X，Y)的两条互相垂直的切线为 l1： y－Y＝k(x－X)， l2： y－Y＝－(x－X)． l1与椭圆的切点(x，y)的横坐标满足 ＋＝1， 即 (a2k2＋b2)