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第四十六讲 椭圆（1）——椭圆的方程 【知识提要】 1、椭圆的定义2、椭圆的标准方程3、椭圆的几何性质： 【例题讲解】 例1、（1）的长轴长为 ； （2）圆和椭圆总有交点，则的取值范围为 ； 例2、（1）求短轴长是，且经过点的椭圆的标准方程。 （2）求长轴长是短轴长2倍，且过点（4，3）的椭圆的标准方程。 （3）已知椭圆的对称轴是坐标轴，两焦点与短轴一个端点组成正三角形，焦点到椭圆的最 短距离为，求此椭圆的标准方程。 例3、已知椭圆，为其上的点，是两焦点， 若，求的面积； 若为钝角，求点横坐标的取值范围； 设是过椭圆的中心的弦，是椭圆的一个焦点，求△的面积的最大值。 例4、（1）已知的周长为20，且，求点A的轨迹方程。 （2）已知圆，动圆经过点且与已知圆相内切，求圆心的轨迹方程。 例5、设椭圆方程分别为左右焦点，为椭圆上一点，以为圆心，为半径作圆，以为直径作圆， 若为椭圆右顶点，判断圆与的位置关系； 若为椭圆上任意一点，判断（1）的结论是否成立。 【归纳小结】 1、主要方法 ⑴待定系数法求椭圆标准方程； ⑵利用、、的几何意义求解； ⑶焦点三角形问题借助正(余)弦定理求解。 2、易错、易漏点： 椭圆的定义：常数大于；标准方程中，总有。 【课后练习】 1、椭圆的对称轴在坐标轴上，长轴是短轴的2倍，且过点（2，1），则它的方程是_____________； 2、已知圆和椭圆总有交点，则的取值范围为 ； 3、已知是椭圆的半焦距，则的取值范围是 ； 4、已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，则△MNF2的周长为____________； 5、已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为___________； 6、设A(-2,0),B(2,0),的周长为10,,则动点C的轨迹方程为 ； 7、为椭圆上任意一点，为其焦点，则 。 8、已知圆C：和定点A（2，0），动点P在圆上，AP的中垂线与直线CP交于点Q，求Q点的轨迹方程。 9、已知两圆内切于A，⊙的半径为，⊙的半径为，动圆M与⊙外切 于Q，与⊙内切于P，求动圆圆心M的轨迹方程。 10、已知椭圆和直线，在直线上取一点M，经过M点且以椭圆的焦点为焦点作另一椭圆，问M在何处时所作的椭圆的长轴最短，并求出此椭圆方程。 11、已知椭圆C的焦点为，P为椭圆C上一点，且是，的等差中项， ⑴求椭圆C的方程； ⑵如果点P在第二象限，且=120°，求； ⑶设A是椭圆C的右顶点，在椭圆C上是否存在点M（不同于点A），使=90°。若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由。 第四十六讲 椭圆（1）——椭圆的方程 【知识提要】 1、椭圆的定义2、椭圆的标准方程3、椭圆的几何性质： 【例题讲解】 例1、（1）的长轴长为 ； （2）圆和椭圆总有交点，则的取值范围为 ；[-6，6] 例2、（1）求短轴长是，且经过点的椭圆的标准方程。 （2）求长轴长是短轴长2倍，且过点（4，3）的椭圆方程。 （3）已知椭圆的对称轴是坐标轴，两焦点与短轴一个端点组成正三角形，焦点到椭圆的最 短距离为，求此椭圆方程。 例3、已知椭圆，为其上的点，是两焦点， 若，求的面积； 若为钝角，求点横坐标的取值范围； 设是过椭圆的中心的弦，是椭圆的一个焦点，求△的面积的最大值。 例4、（1）已知的周长为20，且，求点A的轨迹方程。 （2）已知圆，动圆经过点且与已知圆相内切，求圆心的轨迹方程。 例5、设椭圆方程分别为左右焦点，为椭圆上一点，以为圆心，为半径作圆，以为直径作圆， 若为椭圆右顶点，判断圆与的位置关系； 若为椭圆上任意一点，判断（1）的结论是否成立。 内切，成立。 【归纳小结】 1、主要方法 ⑴待定系数法求椭圆标准方程； ⑵利用、、的几何意义求解； ⑶焦点三角形问题借助正(余)弦定理求解。 2、易错、易漏点： 椭圆的定义：常数大于；标准方程中，总有。 【课后练习】 1、椭圆的对称轴在坐标轴上，长轴是短轴的2倍，且过点（2，1）