2013–2014版高中数学(人教A版)必修四配套Word版活页训练第二章平面向量2.4.1课时作业.doc

1．若|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则a与b夹角为(　　)． A．150° B.120° C．60° D.30° 解析　a·b＝|a||b|cos θ， cos θ＝＝＝－，又θ[0°，180°]， θ＝120°. 答案　B 2．(2012·北京海淀区一模)在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是(　　)． A．矩形 B.菱形 C．直角梯形 D.等腰梯形 解析　＝即一组对边平行且相等，·＝0即对角线互相垂直，四边形ABCD为菱形． 答案　B 3．已知平面上三点A、B、C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于(　　)． A．－25 B.－20 C．－15 D.－10 解析　＋＋＝0，|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝9＋16＋25＋2(·＋·＋·)＝0，·＋·＋·＝－25. 答案　A 4．已知|a|＝8，e为单位向量，a与e的夹角为150°，则a在e方向上的投影为________． 解析　a在e方向上的投影为|a|cos 150°＝8×＝－4. 答案　－4 5．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________. 解析　|5a－b|＝＝＝＝ ＝7. 答案　7 6．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，i，j为相互垂直的单位向量，那么a·b＝________. 解析　将两已知等式相加得，2a＝－6i＋8j，所以a＝－3i＋4j.同理将两已知等式相减得，b＝5i－12j，而i，j是两个互相垂直的单位向量，所以a·b＝(－3i＋4j)·(5i－12j)＝－3×5＋4×(－12)＝－63. 答案　－63 7．(2012·金华一中高一期中)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求|a＋b|；(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影． 解　(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝61， 4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. |a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6， |a＋b|＝＝＝. (2)a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10， 向量a在向量a＋b方向上的投影为＝＝. 8．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是(　　)． A. B. C. D. 解析　设a，b的夹角为α.方程有实根，Δ＝|a|2－4a·b≥0，即|a|2－4|a|·|b|·cos α≥0，cos α≤，α∈. 答案　B 9．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________. 解析　由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5. 答案　－8或5 10．设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且a与b具有关系|ka＋b|＝|a－kb|(k0)． (1)a与b能垂直吗？ (2)若a与b夹角为60°，求k的值． 解　(1)|ka＋b|＝|a－kb|， (ka＋b)2＝3(a－kb)2， 且|a|＝|b|＝1. 即k2＋1＋2ka·b＝3(1＋k2－2ka·b)， a·b＝.k2＋1≠0， a·b≠0，即a与b不垂直． (2)a与b夹角为60°，且|a|＝|b|＝1， a·b＝|a||b|cos 60°＝. ＝. k＝1.