§5–3定积分的换元法和分部积分法.doc

§5—3定积分的换元积分法和分部积分法 一、定积分的换元法 例1 计算． 解 =u3+C sin3x+C． 　　(1) 于是 ==(1－0)= 　　(2) 分析解题过程．在(1)式先求出u2的原函数u3，sin3x，(2)式中作双重代换，在x=0，x=sin0=0， sin=1．注意当x=0，u=sin0=0，u=sin=1u2的原函数u3作u从0到1的双重代换，与变量回代后对sinx从0到的双重代换，完全是等效的．可见在求定积分时变量回代实属多余，其实在实施换元u=sinx的同时，也改变原x的积分限0，u的对应限0，1 =， 能得到同样结果． 在一定条件下，把“换元?新元的原函数?回代?作双重代换”得定积分的过程，改为“换元、换积分限?新元的原函数?在新积分限上作双重代换”得定积分，是可以得到相同结果的． 定理1 设(1)f(x)在[a，b](2)??(x)在[a，b]??(x)?0， x?(a，b)(3)?(a)=?，?(b)=?，则 　　　 ． 定理2 设(1)f(x)在[a，b] (2)??(t)在[?，?]??(t)?0， t?(?，?)(3)?(?)= a，?(?)=b.则 ． 注意　两个定理中???0的条件，是新、老积分区间一一对应的保障，不可忽视，缺少这个条件可能会出现谬误结果．例如 =0， 实际上，=．?(x)=x2， ??(x)=2x(－1，1)x=0，是产生错误的原因． 例2 计算下列定积分： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 解：(1) 令 =． (2)= ． 如果对不定积分换元法很熟悉，那么未必非要换元u=1+x2，可以直接写成 ===． 只是因为没有换元，当然也不存在换积分限问题． (3)=－ －===－=－=“换元变限，不换元限不变”的原则． (4)==． (5)令t=，即x=t2，dx=2tdt；当x=1， t=， x=4，t=2x 从1?4 ? t 从1?2． 应用定理2得 =． (6)令x=asint， dx=acostdtx=0，t=0， x=a， t=x 从 0?a? t从0?． 应用定理2得 == ?a2． 例3 设函数f(x)在闭区间[－a，a] (1)当f(x)为奇函数时，=0； (2)当f(x)为偶函数时，=2． 证明 =+， 在换元：令x=－tdx=－dtx从－a?0 ? t a?0．于是 =， 从而 =＋＝． (1)当f(x)为奇函数时，有f(－x)+f(x)=0=0； (2)当f(x)为偶函数时，有f(－x)+f(x)=2f(x)=2． 本例所证明的等式，称为奇、偶 函数在对称区间上的积分性质．在 理论和计算中经常会用这个结论． 从直观上看，性质反映了对称 区间上奇函数的正负面积相消、偶 函数面积是半区间上面积的两倍这 样一个事实． 例4 计算下列各定积分： (1)；(2)． 解：(1)由于是[－，]是[－，] =+=2+0=2=2． (2)由于x2|x|是[－1，1] =2=2?=． 二、定积分的分部积分法 例5 计算． 解 先用分部积分法求xcosx的原函数： =xsinx+cosx+C， =[xsinx+cosx]=－1－1=－2 =[xsinx]－0+cosx=－23(定积分的分部积分公式) 设u?(x)，v?(x)[a，b] ， 或简写为 ． 例6 求定积分：(1)；(2)． 解 (1)= =0+2=?－2(2)= =(e 2?－1)+=(e 2?－1)+ =(e 2?－1)－ 2= e 2?－1=(e 2?－1) 练习5－3 1. 思考并回答下列问题： (1)应用定积分的换元法时，强调要同步换积分限．把不定积分凑微分法应用于定积分