“空间中垂直关系”同步练习2〔新人教B版必修2〕.doc

《空间中的垂直关系》 专题训练 1．如图1所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中点，求证：EF⊥GF。 2．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点，证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线。 3．（1）如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，求证：BD⊥平面ACC1A1。 （2）如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点， 面CDE 是等边三角形，棱。 （I）证明平面； （II）设证明平面。 4．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA1 ＝，D 是 A1B1 中点．（1）求证C1D ⊥平面A1B ；（2）当点F 在BB1 上什么位置时，会使 得AB1 ⊥平面C1DF ？并证明你的结论。 5．如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中点，求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA。 6．如图所示，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4.E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G。 （Ⅰ）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1； （Ⅱ）求点D1到平面B1EF的距离d； （Ⅲ）求三棱锥B1—EFD1的体积V。 7．（1）如图，正方形所在平面，过作与垂直的平面分别交、、于、K、，求证：、分别是点在直线和上的射影． （2）如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。 （Ⅰ）试确定，使直线与平面所成角的正切值为； （Ⅱ）在线段上是否存在一个定点Q，使得对任意的，D1Q在平面上的射影垂直于，并证明你的结论。 8．如图1所示，已知A1B1C1—ABC是正三棱柱，D是AC的中点。 （1）证明AB1∥DBC1； （2）假设AB1⊥BC1，BC=2。 求线段AB1在侧面B1BCC1上的射影长。 9．已知是边长为的正三角形所在平面外一点， ，求异面直线与的距离。 10．如图，在空间四边形中，、、、分别是边、、 、的中点，对角线且它们所成的角为。 ⑴求证：，⑵求四边形的面积。 11．如图（1）所示，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图（2）的 （要求：把可能的图的序号都填上） 图（1） 图（2） （2）命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。 命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥。 12．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线.给出四个论断： ①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： 。 答案：m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β 《空间中的垂直关系》答案 1． 证明：如图2，作GQ⊥B1C1于Q，连接FQ，则GQ⊥平面A1B1C1D1，且Q为B1C1的中点。 在正方形A1B1C1D1中，由E、F、Q分别为A1D1、A1B1、B1C1的中点可证明EF⊥FQ， 由三垂线定理得EF⊥GF。 2．证明：设O为AC中点，连接EO，BO，则EOC1C，又C1CB1B，所以EODB， EOBD为平行四边形，ED∥OB。 ∵AB＝BC，∴BO⊥AC， 又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOì面ABC，故BO⊥平面ACC1A1， ∴ED⊥平面ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1， ∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线。 点评：该题考点多，具有一定深度，但入手不难，逐渐加深，逻辑推理增强。 3． 证明：（1）∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱， ∴CC1⊥平面ADCD, ∴BD⊥CC1 ∵ABCD是正方形 ∴BD⊥AC 又∵AC，CC1平面ACC1A1, 且AC∩CC1=C, ∴BD⊥平面ACC1A1。 （2）证明： （I）取CD中点M，连结OM。 在矩形ABCD中， 又 则连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形。 又平面CDE，且平面CDE， 平面CDE。 （II）连结FM。 由（I）和已知条件，在等边中， 且 因此平行四边形EFOM为菱形，从而。 平面EOM，从而 而所以平面 4． 分析：（1）由于C1D 所在平面A1B1C1 垂直平面A1B ，只要证明C1D 垂直交线A1B1 ，由