三重积分及其计算及多重积分.doc

三重积分和多重积分方法 在第三节中我们讨论了二重积分，本节将之推广到一般的n维空间中去. 类似于第三节,我们先定义一个R3中集合的可求体积性. 同样可以给出一列类似的结论. 读者自己推广. 这里将不再赘述. 引例 设一个物体在空间R3中占领了一个有界可求体积的区域，它的点密度为，现在要求这个物体的质量．假设密度函数是有界的连续函数，可以将区域分割为若干个可求体积的小区域，其体积分别是，直径分别是，即, (i=1,2,…,n）, |WQ|表示W, Q两点的距离．设，则当很小时，在上的变化也很小．可以用这个小区域上的任意一点的密度来近似整个小区域上的密度，这样我们可以求得这个小的立体的质量近似为，所有这样的小的立体的质量之和即为这个物体的质量的一个近似值．即 ． 当时，这个和式的极限存在，就是物体的质量．即 ． 从上面的讨论可以看出，整个求质量的过程和求曲顶柱体的体积是类似的，都是先分割，再求和，最后取极限．所以我们也可以得到下面一类积分． 三重积分的定义 设是空间中的一个有界可求体积的闭区域V上的有界函数，将V任意分割为若干个可求体积的小闭区域，这个分割也称为V的分划，记为P: . (空, ), 其体积分别是，直径分别是．设,或记为||P||. 在每个小区域中任意取一点，作和(称为Riemann和)，若当时，这个和式的极限存在，则称其极 限为函数在区域上的三重积分，记为．并称函数在区域上可积．称为被积函数,x,y,z 称为积分变量., V称为积分区域. 特别地，在直角坐标系下，可以记为． 我们同样可以引入Darboux大,小和来判别可积, 也有同样的结论(略). 1. 若是有界闭区域上的连续函数，则函数在区域上可积． 2. 若=1时, 的体积. 3. 若在有界闭区域上的间断点集合是0体积时, 在可积. 三重积分有着与二重积分类似的性质．下面简单叙述一下． 可积函数的和（或差）及积仍可积. 和（差）的积分等于积分的和(差)． 可积函数的函数倍仍可积. 其积分等于该函数积分的倍． 设是可求体积的有界闭区域，在上可积，分为两个无共同内点的可求体积的闭区域之并，则在上可积，并有 ． 等等. 三重积分的计算 方法同二重积分一样, 我们这里给出三重积分的计算方法,理论上的证明读者自己完成.. 利用直角坐标系计算三重积分 先给一个结论. 定理12.14 若函数是长方体V=[a,b]×[c,d]×[e,h]上的可积, 记D=[c,d]×[e,h], 对任意x∈[a,b], 二重积分 存在, 则 (记为) 也存在, 且. 这时右边称为三次积分或累次积分, 即三重积分化为三次积分. 证明 分别中[a,b], [c,d], [e,h] 插入若干个分点 ; ; 作平面, , ,(i=0,1,2,…,n; ,j i=0,1,2,…,m; k=0,1,2,…,s,)得到V的一个分划P. 令 (i=1,2,…,n; ,j i=1,2,…,m; k=1,2,…,s,), ,分别是在上的上, 下确界.那么在上有 其中Δxi ,= xi - xi-1 , Δyj ,= y j - y j -1 , Δzk ,= zk - zk-1 , (i=1,2,…,n; ,j i=1,2,…,m; k=1,2,…,s,). 因可积，所以当||P||趋于0时，Darboux大,小和趋于同一数，即三重积分. 故定理得证. 如果V如右图, e≤z≤h, z=z与V的截面 面积为Dz , 不难得到, 若函数在V上的可积, 那么. 下面给出一般三重积分的具体计算方法，理论证明读者可参照二重积分自己完成．设函数在有界闭区域上连 续，我们先讨论一种比较特殊的情况．，其中为在平面上的投影，且．如图1２． 我们现在轴上做积分，暂时将看成是常数．把函数看作是的函数，将它在区间上积分得到 ． 显然这个结果是的函数，再把这个结果在平面区域上做二重积分 ． 在利用二重积分的计算公式便可以得到所要的结果．若平面区域可以用不等式表示，则 ． 这个公式也将三重积分化为了三次积分． 如果积分区域是其他的情形，可以用类似的方法计算． 例1计算三重积分，其中是由三个坐标面和平面所围的立体区域． 解 积分区域如图所示，可以用不等式表示为 ， 所以积分可以化为 四、三重积分的积分变换 和二重积分的积分变换一样，有如下的结果: 定理12.15 设V是uvw空间R3中的有界可求体积的闭区域，T：x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w),是V到xyz空