2014高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题二函数与方程与函数实际应用.doc

专题二 函数与方程及函数的实际应用 1．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)B　[由f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0及零点定理，知f(x)的零点在区间(－1,0)上．]2．函数f(x)＝xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为(　　)． A．4 B．5 C．6 D．7C　[令xcos x2＝0，则x＝0，或x2＝kπ＋，又x[0,4]，因此xk＝ (k＝0,1,2,3,4)，共有6个零点．]3．函数f(x)＝x－x的零点个数为(　　)． A．0 B．1 C．2 D．3B　[因为y＝x在x[0，＋∞)上单调递增，y＝x在xR上单调递减，所以f(x)＝x－x在x[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝－1＜0，f(1)＝＞0，所以f(x)＝x－x在定义域内有唯一零点，选B.]4．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件． 解析　y＝f(x)＝－x3＋81x－234，y′＝－x2＋81. 令y′＝0，得x＝9，x＝－9(舍去)． 当0＜x＜9时，y′＞0，函数f(x)单调递增； 当x＞9时，y′＜0，函数f(x)单调递减． 故当x＝9时，y取最大值． 答案　9 高考对本部分的考查有： (1)确定函数零点； 确定函数零点的个数； 根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围． (2)函数简单性质的综合考查．函数的实际应用问题． (3)函数与导数、数列、不等式等知识综合考查． 利用函数性质解决相关的最值．题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题主要考查相应函数的图象和性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点、方程根的基础上，又注重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法． 1．二次函数图象是连接三个“二次”的纽带，是理解和解决问题的关键，应认真研究、熟练掌握． 2．关于零点问题，要学会分析转化，能够把与之有关的不同形式的问题，化归为适当方程的零点问题． 3．函数模型的实际应用问题，主要抓好常见函数模型的训练，重点放在信息整理与建模上. 必备知识 零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 注意以下两点： 满足条件的零点可能不唯一； 不满足条件时，也可能有零点． 在处理二次函数问题时，要注意f(x)的几种常见表达形式 (1)y＝ax2＋bx＋c； (2)y＝a(x－x1)(x－x2)； (3)y＝a(x－h)2＋k. 应根据题目的特点灵活选用上述表达式． 应用函数模型解决实际问题的一般程序 ?? 与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答． 必备方法 1．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f(x)，g(x)，即把方程写成f(x)＝g(x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系． 2．二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，x[p，q]的最值问题实际上是研究函数在[p，q]上的单调性．常用方法：(1)注意是“轴动区间定”，还是“轴定区间动”，找出分类的标准；(2)利用导数知识，最值可以在端点和驻点处寻找． 3．f(x)≥0在[p，q]上恒成立问题，等价于f(x)min≥0，x[p，q]．  常考查：根据函数解析式判断零点所在的区间；根据函数解析式求零点的个数问题．可采用零点判定定理、数形结合法求解，高考命题有加强的趋势，难度中档偏下．　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例1】函数f(x)＝－cos x在[0，＋∞)内(　　)． A．没有零点 B．有且仅有一个零点 C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点 [审题视点] 　 　 [听课记录] [审题视点] 将问题转化为判断y＝与y＝cos x的交点个数． B　[ 在同一直角坐标系中分别作出函数y＝和y＝cos x的图象，如图，由于x＞1时，y＝＞1，y＝cos x≤1，所以两图象只有一个交点，即方程－cos x＝0在[0，