环形染色问题的公式解法.pdf

中学数学杂志2008年第9期 ￡．弼嗄骺鲵钇跷易$裼。舅钇葛2。尼嚣爱锣 设七局四胜制中，A胜的概率为P。，同理有P。= 故P4P3． p4+c：p3(1一p)3·P=P4+20p4(1一p)3 综上所述，P。P3P2P。，故选择一局一胜 P。一P3=P3[P+20p(1一P)3]一P3[1+6(1一 制，以队取胜的概率最大，该赛制对A队最有利． p)2]=P3(1一P)(20p3—40／,2+26p一7)，令g(p) 在现实生活中，我们举办的各级各类比赛，都是 =20p3—40p2+26p一7，贝09’(p)=60p2—80p+26， 为了选出优胜者，选出冠亚军，其实，赛出的冠军，实 6—0x26 力并不一定是真正的第一，要想通过比赛选出名副 令g’(Jp)=o得p=8—0—±~／—(-180i)2矿-4—x 其实的第一，理论上比赛场数越多越好，但场数过多 =学o．5，即函数g(p)的两个极值点在又需投入太多人力物力，为了兼顾这两方面的平衡， 现在很多国际赛制已由五局三胜制改为七局四胜 区间(0，0．5)外，所以g(P)在P∈(0，0．5)单调， 制． g(o)=一70，g(O．5)=一1．50，所以g(P)在 环形染色问题酌公式麓法 山东曲阜市一中 273100李学民 聂二军 定理 如图把一个圆分成n(n≥ 2)个扇形区域A。，现用m(m≥2)种不 同颜色为这t／,个区域染色，要求相邻两 个区域Ai与AⅢ颜色不同，则不同的染 加化简得a。) 色方法共有(m一1)8+(m一1)(一1)4种． 用此公式法求近几年高考题中出现的染色问题 证明 记用m种不同颜色为几个区域进行染 则非常简便． 色的方法种数为a。． 例1(2008年全国卷·理)如图一个环形花坛 对于区域A，，有m种染法；由于相邻区域颜色 分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要 不能相同，区域A：有／7／,一1种染法；同理A，，A。，…，求每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不 A川分别有m—1种染法；区域A。有if／,一1种染法同的种法总数为( ) A．96 B．84 C．60 D．48。 (不论区域A。是否与A。同色)，共有m(m一1)”1种 染法．但m(m一1)”1种染法中要分为两类，一是A。 解 与A．不同色，二是A。与A．同色，同色时可把A。与A，1)4·(4—1)=84．选B． 看作为同一区域，此时染法总数为a。小因此有a。+ 口¨=m(m一1)”1． · 利用由数列递推公式求通项公式的方法． @⑧ 可设a。+ot·(m一1)4=一[a。一l+o／·(m一 1)“一1]，整理有a。+口。一l=一，n(，n一1)”’1·a 例2(2003年全国卷·文)如图，一个地区分 为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得 与口。+口。一1=rn(rn—1)”．1比较得口=一1． 使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着 贝0有口。一(，n—1)“=一[a。一。一(m一1)“一]，令