从力做功到向量数量积学案.doc

§5从力做的功到向量的数量积（学案） 姓名： 班级： 学号： 一、预习目标： （1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义。 （2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系；向量的夹角。 （3）掌握平面向量数量积性质和运算律及它的一些简单应用。 二、回顾旧知 思考：请同学们回忆物理学中做功的含义，问如何计算力 F发生一段位移S所做的功W= 。如图： 这个公式有什么特点？请完成下列填空： ① W（功）是 量，② F（力）是 量，③ S（位移）是 量，④ ?是 。 0°≤?＜90°时，w 0，力做 功；?=90°，w 0，力不做功； 90°＜?≤180°，w 0，力做 功。 你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 如果我们将公式中的力与位移的运算推广到一般向量，其结果又该如何表述？还应该注意什么问题？ 三、新知探索 1．向量夹角的概念：范围 画出以下几组向量的夹角： 在中已知A=45°，B=50°，C=85°求下列向量的夹角： （1） （2） （3）的夹角。 2.射影的概念是如何定义的，举例（或画图）说明；并指出应注意哪些问题. 给出如下六个图形，让学生指出在方向上的射影，并判断其正负。 注意：①射影也是一个数量，不是向量。 ②当?为锐角时射影为 值；当?为钝角时射影为 值；当?为直角时射影为 ；当? = 0?时射影为 ；当? = 180?时射影为 3.数量积定义： 注意：① 不能写成或的形式。 ②两个向量的数量积是一个数量。这个数量的大小与这两个向量的长度及夹角有关。其正负如何确定？ 当为锐角时， 0；当为钝角时， 0； 当时， 0；当时，； 当时， 。 几何意义： 物理意义： 4.数量积的性质 请完成下列练习，并通过观察，看看自己能否发现向量数量积的性质。 （1）已知，为单位向量，当它们的夹角为时60°，求在方向上的投影及 e?a， a ?e 性质为： （2）已知，，与的交角为，则 性质为： （3）若，，、共线，则 ；·= 。 性质为： （4）已知，，且，则与的夹角为 性质为： 性质： ①e?a=＿＿ ②a?b ?＿＿ ③当a与b同向时，a?b =＿＿；当a与b反向时，a?b =＿＿。 特别的a?a =＿＿或 ④cos? =＿＿（|a||b|≠0） ⑤ |a?b|＿＿|a||b|（当且仅当∥时等号成立） 5.运算定律： 1.交换律： 2.数乘结合律： 3.分配律： 四：课后感悟 1、判断下列各题正确与否： ①若= ，则对任一向量，有·= 0. ( ) ②若? ，则对任一非零向量，有· ? 0. ( ) ③若? ，·= 0，则 = . ( ) ④若· = 0，则、至少有一个为零. ( ) ⑤ 若? ，·= ·，则= ( ) ⑥若·= ·，则=，当且仅当? 时成立. ( ) ⑦对任意向量，，，有(·) · ? ·（·） ( ) ⑧对任意向量，有·= ||2. ( ) 3、看例1完成 已知︱︱=5,︱︱=4, 与的夹角θ=120°，求·。 例1、已知︱︱=6，︱︱=4, 与的夹角为60°，求（+2 ）·（-3），|+2|；并思考此运算过程类似于哪种实数运算？ 例2、对任意向量 ，b是否有以下结论： （1） (+)2