2015年高中数学步步高大一轮复习讲义〔文科〕选修4_4坐标系与参数方程.doc

选修4－4　坐标系与参数方程 1．极坐标系 (1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做________，从O点引一条射线Ox，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系． 设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的________，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)． (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝______，y＝________. 另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 θ＝α (ρ∈R)表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b表示过且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程 ρ＝2rcos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r|的圆； ρ＝2rsin θ表示圆心在，半径为|r|的圆； ρ＝r表示圆心在极点，半径为|r|的圆． 3．曲线的参数方程 在平面直角坐标系xOy中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变量t的函数 并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t称为________． 4．一些常见曲线的参数方程 (1)过点P0(x0，y0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t为参数)． (2)圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为________________________(θ为参数)． (3)椭圆方程＋＝1(ab0)的参数方程为________________(θ为参数)． (4)抛物线方程y2＝2px(p0)的参数方程为________________(t为参数)． 1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________． 3．已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则PF＝________. 4．直线(t为参数)的倾斜角为________． 5．已知曲线C的参数方程是(t为参数)．则点M1(0,1)，M2(5,4)在曲线C上的是________． 题型一　极坐标与直角坐标的互化 例1　在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos(θ－)＝1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点． (1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标； 　 　 　 (2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程． 　 　 思维升华　直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验． 　在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求实数a的值． 　 　 　 题型二　参数方程与普通方程的互化 例2　已知两曲线参数方程分别为(0≤θπ)和(t∈R)，求它们的交点坐标． 　 　 　 思维升华　(1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等．对于与角θ有关的参数方程，经常用到的公式有sin2θ＋cos2θ＝1,1＋tan2θ＝等． (2)在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x，y的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性． 　将下列参数方程化为普通方程． (1)(t为参数)； (2)(θ为参数)． 　 　 题型三　极坐标、参数方程的综合应用 例3　在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，直线l的参数方程是(t为参数)，M，N分别为曲线C、直线l上的动点，求MN的最小值． 　 　 　 　 思维升华　涉及参数