2015年高考数学热点难点试题考纲解读专题专题07平面向量的线性运算和其应用].doc

【2015年高考考纲解读】 2015高考对本内容的考查主要有： 平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求，应特别重视． 试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与三角函数综合考查，构成中档题. 1．向量的概念 (1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为±. (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)． (4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量． (5)|b|cos〈a，b〉叫做b在向量a方向上的投影． 2．两非零向量平行、垂直的充要条件 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， (1)若a∥b?a＝λb(λ≠0)；a∥b?x1y2－x2y1＝0. (2)若a⊥b?a·b＝0；a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. 3．平面向量的性质 (1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |A|＝. (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝. 4．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量＝－(其中O为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量． 5．根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直，反之也成立． 6．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线． 考点1、平面向量的线性运算 【例1】(1)(2014·四川)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 (2)(2014·湖北)设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)(a－λb)，则实数λ＝________. 命题意图(1)本题主要考查向量的运算、向量的夹角公式等基础知识，考查考生的计算能力、分析问题的能力和转化能力． (2)本题主要考查向量的数量积等知识，意在考查考生对基础知识的理解和运用能力． 答案(1)D　(2)±3 解析(1)解法一：由已知，得c＝(m＋4,2m＋2)，因为cos〈c，a〉＝，cos〈c，b〉＝，所以＝，又由已知，得|b|＝2|a|，所以2c·a＝c·b，即2[(m＋4)＋2(2m＋2)]＝4(m＋4)＋2(2m＋2)，解得m＝2. 解法二：易知c是以ma，b为邻边的平行四边形的对角线向量，因为c与a的夹角等于c与b的夹角，所以该平行四边形为菱形，又由已知，得|b|＝2|a|，故m＝2. (2)(a＋λb)(a－λb)?(a＋λb)·(a－λb)＝a2－λ2b2＝0?18－2λ2＝0?λ＝±3. 平面向量的运算主要包括向量运算的几何意义、向量的坐标运算以及数量积的运算律的应用等． (1)已知条件中涉及向量运算的几何意义应数形结合，利用平行四边形、三角形法则求解． (2)已知条件中涉及向量的坐标运算，需建立坐标系，用坐标运算公式求解． (3)解决平面向量问题要灵活运用向量平行与垂直的充要条件列方程． (4)正确理解并掌握向量的概念及运算；强化“坐标化”的解题意识；注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用． 注意：在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中的已知向量进行计算． (2013·江苏卷)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[来源:gkstk.Com] 【答案】 【解析】如图，＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，则λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝. 【规律方法】在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．本例中的第(1)题就是把向量用 ，表示出来，再与题中已知向量关系式进行对比，得出相等关系式，可求相应的系数． 【变式探究】 (2013·天津卷)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________． 【答案】 【解析】在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则＝，∴＝＝－，又＝＋， ∴·＝(＋)·(－)＝2－·＋·－2＝||2＋||||·cos 60