自然变分原理.pdf

§1.3 变分原理 §1.3.1 自然变分原理 §1.3.1 自然变分原理 §1.3.2 修正泛函的变分原理 §1.3.2 修正泛函的变分原理 §1.3. 1 自然变分原理 §1.3. 1 自然变分原理 1. 线性、自伴随微分算子 1. 线性、自伴随微分算子 如果微分方程具有线性、自伴随的性质，则： • 不仅可以建立它的等效积分形式， 并可利用加权余量法求其近似解； • 还可建立与之相等效的变分原理， 基于它的另一种近似求解方法——Ritz法。 §1.3. 1 自然变分原理 §1.3. 1 自然变分原理 线性、自伴随微分方程的定义： 微分方程 L (u ) +b 0 in Ω ~ ~ L 为微分算子 ~ L L (αu +βu ) α L (u ) =+β L (u ) 若 具有性质： 1 2 1 2 ~ ~ ~ ~ 则称 L 为线性微分算子。 ~ §1.3. 1 自然变分原理 §1.3. 1 自然变分原理 若 ∫ L (u ) v d Ω 内积后，求积； ~ ~ ~ Ω 任意函数 对上式分部积分，直至u 的导数消失，得： * L (u ) v d Ω u L (v )d =Ω+b .t .(u , v ) ∫~ ~ ~ ∫~ ~ ~ ~ ~ Ω Ω 边界项 * 称 L 为 L 的伴随算子。 ~ ~ * 若 L L 则称算子是 自伴随。 ~ ~ §1.3. 1 自然变分原理 §1.3. 1 自然变分原理 2. 泛函的构造 2. 泛函的构造 ∀x ∈Ω A (u ) ≡L (u ) + f 0 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ∀x ∈Γ B (u ) 0 ~ ~ ~ 利用 Galerkin （伽辽金）格式 利用 Galerkin （伽辽金） T T δu (L(u) + f )dΩ+ δu B(u)dΓ 0 ∫ ~ ~ ~ ∫ ~ ~ ~