自然数方幂和与伯努利数(上).pdf

维普资讯 2000年第2期 自然数方幂和与伯努利数(上) 吴振奎 (天津商学院，300122) (注意图2中的,517、 2与其相邻的带阴影部 一 ．，l＼ 史 、 分图形相抵)可给出上述公式的两种几何解 两千多年前希腊数学家毕达哥拉斯在研 释㈨ ． 究“形数”时已注意到了三“角形数”(排成三 然而，上述公式的严格证明则是1834年 角形状时的点数)： 由Jacobi完成的． 立方和公式给出大约一千年后(11世 纪)阿拉伯数学家阿里 ·花拉子模给出： I+2+3+…+ l 3 b lO la … 1 (72+1)(2+1)(3。+3一1) 它们实际上涉及了1+2+3+4+…+72这 ． 类(从1开始的)相继自然数和的问题(注意： 对于一般自然数方幂和S()：1+2 相邻两个 三“角形数”和恰好是一个 “正方形 +3+…+ 的公式研究，则是近几百年才 数”即完全平方数。这个结论为我们提供了计 有了进展． 算这类数和的一种方法)． 13世纪我国数学家朱世杰在其所著四 阿基米德在计算抛物线图形面积时，已 元玉锚中发明了垛“积术和招“差术”，用以 经求得自然数平方和公式： 研究高阶等差级数求和问题L1J，他给出了公 1+2+3。+…+ 式(用今天的数学符号表示)： 吉n(+1)(2n+1)· 古希腊另一位数学家尼科梅切斯则给出 亩r(，．+1)(r+2)…(r+一1) (印度人阿耶波多的著作中也给出了该公 (+)(+2)…(+ )· · 弋)： 用它可以计算诸如： 10+2。+33+…+ 。 1+2+3+…+ ，1+3+6+10+…， ： (1+2+…+)=[去 (+1)]． 1+4+10+20+…，1+5+15+…， 1+6+21+… 等所谓三角垛数和问题． 此外，他还给出公式(用今天数学符号表 示)： 南，．(，．+1)…(，．+ r 图1 图2 (+1)…(+ ) 从上面两图用不同方法计算它们的面积 · [(P+1)+1]，