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Laplace Laplace LLaappllaaccee方程第一边值问题的数值解 姓名 梁凯 学号 2007302580 班 一、实验目的： 1、掌握Laplace 方程定解问题的五点格式的求解方法； 2、培养编程与上机调试能力 二、实验准备 1、了解偏微分方程的分类方法，椭圆型方程的特点； 2、了解常见的Laplace方程的差分格式； 3、熟悉Laplace 方程的五点格式及其推导过程。 三、实验内容 题目一 在区域G:0≤ x≤ 0.5,0≤ y≤ 0.5利用五点菱形格式求解Laplace 方程第一边值问 题：(要求取x方向与y方向取相同的步长h＝0.125)： ⎧∆u= 0 0 x,y 0.5 ⎪ ⎪u(0,y)= u(x,0)= 0 ⎨ ⎪u(x,0.5)= 200x ⎪u(0.5,y)= 200y ⎩ 四、基本思想及主要步骤 基本思想： 有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖 分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原 问题离散化为差分格式，进而求出数值解。此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯 一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、 差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解(即收敛性)，等等。而G－S迭代法是 用逐次逼近的方式得到差分方程组的解，它的存储量小，程序简单，计算量小，因此常 用于椭圆型差分方程组的求解。 对Laplace 方程的第一边值问题 2 2 ∂ u ∂ u ∆u= + = 0, x,y ∈D 2 2 ( ) ∂x ∂y u x,y =α x,y , x,y ∈∂D ( ) ( ) ( ) 利用taylor 展开可得逼近它的五点差分格式的差分逼近 u −2u +u u −2u +u △ u= i+1,j ij i−1.j + i,j+1 ij i.j−1 = 0, x,y ∈D h h2 k2 ( i j) h u =α , x,y ∈∂D ij ij ( i j ) h 其中h,k分别为 轴和 y轴步长，边界条件可以由u x,y =α x,y 离散可得，当 x ( ) ( ) (x,y)∈∂D时有α =α x,y 。 ij ( i j ) 注意五点格式计算节点是由边界的已知节点，计算内部节点，计算时需要联立大型方程 组，该方程组可以用迭代法求解。 主要步骤： (1)首先取定 ，对求解区域划分网格，按照网格定义矩阵 v1，使得矩阵里面每个元 h,k 素对应求解区域中的每个节点； (2)由边界条件定义v1矩阵中边界元素的值，其余元素定义为零； (3)定义与v1 同型的零矩阵v2； (4)用五点格式公式通过矩阵v1迭代计算矩阵v2，迭代精度为0.1； 求解差分方程组最常用的方法是同步迭代法，同步迭代法是最简单的迭代方式。除边 界节点外，区域内节点的初始值是任意取定的。 在本题中h= k。用五点菱形格式求