向量——解决解析几何问题的有力武器.pdfVIP

维普资讯 2005年3月1日 理科考试研究 ·数学版 向量 解决解析几何 问题的有力武器 张圣官 解析几何与向量是高中数学新课程方案 看其解析法证明： 中两个重要的分支学科，数形结合是这两个学 如图1，建立坐标系，设四边形的四个顶点 科的共同特点．由于向量既能体现 形“”的直观 为A(a，0)、B(b，C)、c(o，d)、D(e，0)， 的位置特征，又具有 “数”的良好的运算性质， ‘ ． ‘IAD 1+IBC j=IAB 1+IDC I2． ’ 因此，向量是数形结合和转换的桥梁．对于解 ． ． (a—P)+(C—d)+b=(b—n)+ 2+ 2十 P2 析几何中图形的重要位置关系(如平行、垂直、 c ． 相交、三点共线等)和数量关系(如距离、角 化简得，ab—ae=cA， 等)，向量都能通过其坐标运算来进行刻划，这 即cA=a(b—e) ① 就为在解析几何解题中充分运用向量方法创 可假定a≠0，b—e≠0(因为如果a=0 造了条件． 或b—e=0，有 C=0或 d=0，与四边形 用向量法解决解析几何问题的一般步 ABCD矛盾)，将①式两边同除以一a(b—e)， 骤是： 得 · = 一 ， 就是Kao·Kac=一1，．．A‘Cj-BD． 下面用向量法证：设以。为起点，A、B、 以下就从三个方面，结合事例说明向量法 c、D为终点的向量分别记为 、g-、；、，则 确实是解决解几问题的有力武器． I I2+I I2：I I2+I I2 一 、 显现问题内在本质 =(一)：+(；一)：：(-g一)：+(；一 )：． 有些解几问题，如果用解析法求解，则不 可得a ·d+b·C=a ·b+C·d， 易显现问题所隐含的内在本质而导致思路不 即(c—a)·(d—b)=0， · 畅、过程繁琐．若将其中出现的点、线置于向量 ． ． 上蔚 ． 背景中，使问题更一般化，则易于暴露其内在 评述 向量证法一气呵成，对称、和谐、统 规律． 一 ，给人以美的享受，由证明过程可以发现其 例 1 巴知四边 逆命题亦为真，并且结论立即可以推广到空间 形一组对边的平方和 ，ll 四边形中，原因在于向量法显现了问题的内在 等于另一组对边的平 本质． 方和，求证：两条对角 二、解决三点共线问题 线相互垂直．