向量和矩阵的范数的若干难点导引.pdfVIP

《周国标师生交流讲席009》 各位同学： 本次讲席讨论向量和矩阵的范数问题。这是一个比较重要但又不太容易接受和理解的概 念。由于课堂上的时间很有限，所以这里化一点时间来较详细地召开分析和研究。希望那些 想深究的同学能从中得到比课堂上更多的东西。如果你读下面的内容感到有困难，也不要着 急，因为就《计算方法》课程而言，最重要的是能够用已经给定的向量和矩阵范数，来分析 解线性代数方程组的直接方法得出的近似解的误差和间接方法（即第 3 章中研究的几个迭 代法）的收敛性，达到这样的要求，我想对大多数同学来说，应该没有多少难度。 需要指出，向量和矩阵的范数的概念，不仅对《计算方法》课程是必须的，对其他数学 课程和分支也很重要，比如最优化课程，多元函数的 Taylor 展开式，就可用向量范数的表 示形式。从研究生的数学课程安排上说，《矩阵理论》是介绍向量和矩阵的范数概念最合适 的课程，它也有相应的一章，不过出现得比较晚，赶不上其他课程的需要，而且教科书上的 介绍恐怕显得有些简明，一些同学仅看教科书常常不得要领。 所以我想化点时间来作这个 讲席，对其它课程来说，会有一定的参考价值。 最后，我还是想再次建议，基础较好或要求较高的同学，不要仅象看小说那样读它一遍， 最好在读每个问题前，自己先试着动动手，做做看，实在有困难，再读下去。学数学这件事， 如果自己不动手只看别人的，那不会对你有多少益处，那是别人的东西，而不属于你。养成 了如此坏习惯，你的知识必定是薄薄的一层，你恐怕只是一个“知道分子”而已，做真正的 研究生不能这样学数学。 是不是这样？ 周国标 2007 ．10．22 向量和矩阵的范数的若干难点导引（一） 一． 为什么要引进向量和矩阵的范数 范数不单单是《计算方法》这一门课程的需要，范数是近代数学的一个重要而又基本的 概念。我们这里仅就《计算方法》涉及到的两个主要方面，来看引入范数的必要性。 先来看如果分析和判断一个向量序列 (k ) ∞ (k ) ∞ {x } 或矩阵序列 {A } 的收敛问题。我们 k 0 k 0 在微积分中学习过判断一个实数序列 ∞ x * {x } 收敛于数 的问题，学了几种判别法。从几何 k k 0 上看，是由xk 到x * 的“距离”大小的变化趋势来判断的，即看是否成立 lim | xk −x*| 0 k →∞ 这里用数（xk −x * ）的绝对值的大小极限来描述“距离”大小的变化趋势。现在考虑向量 序列的收敛性，直观上也可以用向量x (k ) 到向量x * 的“距离”大小的变化趋势来判断，但 这里的距离当然不能简单地套用数的绝对值，因为对于向量，乃至矩阵，没有绝对值的概念， 也无法计算它们的绝对值。 那么，怎么样来衡量向量和矩阵的“大小呢？这就提出了一种需要。 再看用直接方法求解线性代数方程组Ax b 的误差分析。我们知道，数值计算中的直 接法是指通过有限次的四则运算和逻辑运算，最后能够得到问题精确解的数值方法。就求解 Ax b 问题而言，直接法的源头方法是 Gauss 消元法，它的实质是将系数矩阵三角化，即 1 A LU ，然后由下三角方程Ly b ，再通过上三角方程Ux y 得到原问题的解 x 。这个 3 计算过程