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《周国标师生交流讲席 004》 2007.9.30 本次讲席讨论求解数值线性代数两大主要问题的基本思想之一——等价变换思想， 两 大基本问题分别是： Ax  b, Ax  x 。 1 ．如 第 一 章 所 述 ，数 值 线 性 代 数 是 数 值 计 算 的一 个 重 领 域 ，主 研 究 Ax  b 和Ax  x 两大类矩阵方程及其扩展的问题的数值计算方法及其相关的数学理论， 问题的核心对象是矩阵A R nn (Cnn ) ，所以又称为矩阵计算，它是数值计算中近代发展最 快，蕴含的数学思想空前活跃，研究成果也相当丰富的领域。数值线性代数包括线性方程组 问题、矩阵特征值问题，最小二乘问题和奇异值问题的数值计算，其中前两者为两大基本、 也是基础问题。针对矩阵A 的阶数大小，以及 A 的对称性，正定性，稀疏性，奇异性，带 状性等等结构特征，求解Ax  b, Ax  x 的数值方法大体分为直接法和间接法两大类。 大家在第一章已经知道了什么叫直接法和间接法，这里不多解释。 采用等价线性变换来化简问题的求解难度，是贯穿于数值线性代数的一个成功有效的 数学思想，它指通过等价线性变换，将矩阵A 变为较为简单特殊的矩阵B ，使变换后对矩 阵B 有关的计算求解更为直接，有利于原问题的求解。这里 “等价”的含义是指变换前后 的问题的解相同 （或者说变换前后的两问题是同解方程问题）。根据这一思想，已提出了一 批有效的数值方法。 下面来分析这一思想是如何体现在求解Ax  b, Ax  x 两类问题上的。 （1）线性代数方程组Ax  b 由线性代数的理论可知，方程Amn xn1  bm1 有解的充分必 条件是秩 （A ，b ）=秩 A ， 其中 （A ，b ）称为方程Ax  b 的增广矩阵。由于对矩阵A 的初等行变换不改变矩阵A 的秩， 而对矩阵A 的初等行变换对应一个非奇异矩阵P 左乘于矩阵A ，所以，若有非奇异矩阵P ， 使PAx  Bx  Pb  d ，那么，秩 （A ，b ）= 秩 A = 秩 PA= 秩 P （A ，b ）= 秩 （PA ，Pb ） = 秩 （B ，d ）。对于标准的线性方程组Ax  b （指A 为 n 阶方阵），为了使得从Bx  d 中 x x 容易求出 ，最理想的矩阵B 是单位阵，这时，Bx  x  d  Pb ，未知向量 直接求出， 此时的非奇异矩阵P ，是A 的逆阵A1 。理论上，可由初等行变换 1 P (A,I )  (PA,P)  (B ,P)  (I , A ) 这样，可以求得A 的逆阵A1 。但从数值计算的复杂度角度看，这样做是不妥的。所以， x 求退而求其次，改为实施矩阵A 的三角化。三角形方程组的求解虽然不是一步能够解出 ， 但毕竟容易求出——这就是我们在中学学过的 Guass 消元法的思想萌芽，由此发展起来的 Guass 消元法是数值求解Ax  b 的直接法的基础。 1  x1  4x 2  7x3  1 (1)  例1．1 用 Guass 消元法求解 (I ) 2x1  5x2  8x3  1 (2)   3x1  6x 2 11x3  1 (3) 解：用初等行变换消去 （2 ）（3 ）中的x1