周振荣版拓扑学第5章分离公理 课后答案.pdfVIP

第五章分离性练习题 November 26, 2012 1 练练练习习习0.1. 证明 是正规空间 的任意闭子集 以及的任意邻域 ，存在的 邻域 ，使得 ． Proof. 必要性 ：不妨设是的开邻域 ，则 是 的闭集 ，且有 ．这 样 ， 就是 中两个不相交的闭集 ．根据正规性条件 ，分别存在和 的开 邻域 和 使得 ，即 ，所 以 ．另一方面 ， 因 ，我们有 所 以， ． 充分性 ：设 是两个不交闭集 ．令 ，则是的邻域 ．由假设条件 可知存在的邻域 使得 ．令 ，则 是 的邻域 ，再根据假设 条件可知存在 的邻域 ，使得 ．于是 ． 练练练习习习0.2. 证明拓扑空间 为正则空间的充要条件是 的任意闭集 以及任意 ，存在 的开邻域 以及的开邻域 ，使得 ． Proof. 必要性 ．设 为正则空 间 ． ，则存在 的开邻域 以及的开邻 域使 ．另一方面 ，存在 的邻域 ，使 ．由于 ， 有 ，因此 ． 充分性 ．显然 ． 练练练 习习习0.3. 证 明拓扑空 间 为正规空 间的充要条件是 的任意两个不相交 的闭 集和 ，分别存在开邻域 以及 ，使得 ． Proof. 充分性显然 ．下证必要性 ． 由正 规 性 ，存 在 的邻 域 使 ．另 一 方 面 ，存 在的邻 域 使 ．同理 ，存在 的邻域 使 ．则 ． 练练练 习习习0.4. 证 明拓扑空 间 为 空 间当且仅 当 ，单点集是 的所有开 邻域之交 ． Proof. 充分性 ．设 ．任取 ， ，则存在 使 ．同理