周振荣版拓扑学第6章紧致性 周振荣版拓扑学.pdfVIP

第六章紧致性练习题 November 26, 2012 1 练练练 习习习0.1. 证 明：若 是紧致拓扑空 间 ， ，则 也是紧致拓扑 空间 ． Proof. 任取 的相对于 的开覆盖 ，则它也是相对于 的开覆盖 ，因此有有 限子覆盖 ，所 以 也是紧致 的 ． 练练练习习习0.2. 证明：（1）拓扑空间的有限个紧子集之并仍然是紧致 的；（2）拓扑 空间任意多个紧致闭子集之交仍然是紧致 的 ． Proof. （1）设 是 的紧子集 ， ．如果是 的开 覆盖 ，则 它也是 的开覆盖 ，因此存在 的有 限子覆盖 ．设 ， 则是 的有限覆盖 ． （2）闭子集之交是其中每一个的闭子集 ，由遗 性即得结论 ． 练练练 习习习0.3. 设 ，证 明是 的紧致子集 当且仅 当作为 子空 间是紧致空 间 ． 练练练习习习0.4. 证明 的开球不是紧致 的 ． Proof. 设 取 的开覆盖 ．则没有有限子覆盖 ． 练练练习习习0.5. 证明Hausdorff空间的紧致子集是闭集 ． Proof. 设是 空间 的一个紧致子集 ．对于任何 以及任意 的 ，存 在 的邻域 以及的邻域 使得 ．因为 是对的开覆 盖 ，由的紧致性可知存在子覆盖 ．令 ， ，则是 的邻域 ， 是的邻域 ，且 ．于是 ， 这说明 是开集 ，就是闭集 ． 练练练习习习0.6. 设 ，证 明是 的紧致子集 的充分必要条件是为 的紧 致子集 ． 练练练习习习0.7. 设 是第一可数 的，证 明 闭于 的充分必要条件是对 的每个紧致 子集 ， 闭于 ． Proof. 只需证明充分性 ．对任意 的 ，由第一可数性可知存在 中的序 列 收敛于 ．令 ，则是 的紧致子集 ．因此 由假 设可知 闭于 ，从而是紧致 的 ．由于 是第一可数 的，所 以也是第一可 数 的 。又 因为 是 中的序列 的极 限点 ，所 以 ，从而有 ，于是 闭于 ． 练练练习习习0.8. 拓扑空间的收敛点列是否紧致？为什么？收敛点列并上极限点之后是 否紧致？为什么？ Proof. 不一定 ，如实数空间的点列 就不是紧致 的 ．并上极 限点之后紧致 ， 因为盖住极限点的开集之外最多只有有限个点 ．