周期函数的几何性质.pdfVIP

维普资讯 13卷3期 龙岩师专学报 (自然科学版) 1995年 8月 ／ 之 r 周期函数的几何性质 张沛和 r ’ ， 一 。 ‘ 摘要 本文讨论周期函数图象的对称性致其逆命题 ■ 关键词 周期函数 、对称轴、对称中心 本文约 i甄 丽 写靠卉 目象，并用符号r表示它；图象的对称轴指垂直于 轴n々直线 定义 ：对函数 y==f(x)，若存在某一十正数 T，使得关系或 f(x+T)=fcx)对于函数 的定义域内 _ffx_郫成立 ． 称 f(x)为罔{{；】函数 ；正数T称为它的一个周期 。所有正周期 中最小的正数T称为 【(x)的基本用朔t本 文简称为 周期)．把 区间 [Xo．Xo—T]叫做函数 的一个周期区问。 我们知道 ．有些周期函数有对称中心．如y sx(x∈R)有对称轴 x—k (k∈z)和对称中心 (k+÷，0)(k∈ z)．所以它有无数多条对称轴和无数个对称中心 ；有些周期函敬有对称轴但无对称中心 ，如 D[richlet函数D(x)一 f l 0：茎 ’它没有对称中心但有无数条对称轴这(是从分析意义来说的，它的图象无法作出；有些周期函数 无对称轴但有对称中心 ．如函数 Y—tgx(x K 十 ．K∈Z)．它无对称轴但有无 投个对称 中心 (K ．0)(K∈z)·有 些周期函数既无对称轴也无对称中心．如y= {x ，即 x的小数部分 。显然 有对称轴的函数不一定是周期画数 ．如 Y —x一1；同样 ，有对称 中心的函数也不一定是周期函数，如 y—x。，我们 自然会提出这样的部题 ：周期函数 如果有对 称轴 ．它有几条对称轴?如果有对称中心 ，它义有几个对称 中心?反之 ，图象有对称轴或对称 中心的函数在怎样情况 下它是一个周期 函数 呢? 下面的两个命题是成立的 ； (I)函数 y=f(x)的图象关于点 (a，b)对称的充要条件是对任意的图象上的点 (x，【(x1)关于点 (a．b)的对称点 【2 ，2b t(x))也在 图象上 。即 t(2a_Jx)一2b—t(x) (I)函数 y—f(xj的图象关于直线 X—a对称 的充要豢件是对任意 的图象上的点 (x，fcx))关于直线 x=a的对 称点 (2 ，【(x))也在 图象上 ，即f(2a x)=t(xj，亦即 f(8 xj—f(a~r-x)。即点 (a x．f(a—x)l~lJ点 ( ，f(a x) 与点 (a+x，【( )是关于直线x—a的一对对称点 一 、 周期函数 的对称性 定理 如果周期 函数y—f(x (x∈R)的图象有一条对称轴 ，x—a剜对任意 K∈z，X=a+ ，从而有无数 多 条对称轴 ，都是它的对称 轴 证 明 设周期函数 Y=f(x)(x∈R)的周期为 T．又直线 x—a是图象的一条对称轴 ，则对任意 x∈R有 f(x--L KT)=f(x) (K ∈Z)和 f(a--x)一 f(a—x) 令 b=芸T十a(K∈z)则 f(2b—x)一f(KT+2a x)一f(2a—x 一f(x) 由前面的 (Ⅱ)及 X的任意性 ，知道直线 x=b是 图象的对称轴 ．所 图象有无穷多条对称轴 定理 2 如果周期函数 y—fcx) (x∈Rj的图象关于点A (a，Yo)x,l-g ，则对任意 K∈z．点 (a+ ，y。)都是 它 的对称中心 证明 设周期 函数y—fcx) (x∈R)的周期为T．点A(a．b是函数图象的一个对称中心。 则对任意整数K，点(a+÷ |b)也是图象的对称中心，这是因为 i(2a+ )