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命题逻辑的推理结构.pdf
计算机科学MOOC课程群
离散数学基础
• 推理的形式结构
− 例:
» 前提1: 如果今天是周五,那么我们有数理逻辑课。
» 前提2: 今天是周五。
» 结论: 今天我们有数理逻辑课。
» 形式化:P :今天是周五。Q :今天我们有数理逻辑课。
» 前提1 :P→Q
» 前提2 :P
» 结论:Q
• 定义:条件式推理结构
− 将例子中的两个前提记为 (P→Q)∧P,结论记为 Q ,上述推理过程可表述为:
(P→Q)∧P|→ Q 或 (P→Q)∧P ├ Q
称为条件式推理结构。
− 记号 ” ├” 读成 ”推出”
− (P→Q)∧P ├ Q 经常写成 (P→Q), P ├ Q
• 定义:推理结构的有效性
− 设命题公式 H、C ,若当 H 为真时,C 必为真,则称推理结构 H ├ C 是有效
的(或是正确的) 推理形式。否则,称推理结构 H ├ C 不是有效的(或是
无效的)推理形式。
» H ├ C 有效,即在 H 上的任何令 H 的真值为 T 的解释下,C 的真值均
为 T 。
» H ├ C 无效,即至少存在一个令 H 的真值为 T 而 C的真值为 F 的解释。
» 推广到有 n 个前提 H , H , …, H 的情形,可令
1 2 n
H= H ∧H ∧…∧H
1 2 n
将推理的形式结构写成 H ├C ;
如果定义 Γ = {H , H , …, H },可写成 Γ ├C 。
1 2 n
− 例: P, (P→Q) ├ Q 是有效的推理结构。
» 由下面的真值表可见,穷尽所有的解释,只有第4行令 P∧(P→Q)=T。而对
应此解释,Q=T。
P Q P→Q P∧(P→Q)
F F T F
F T T F
T F F F
T T T T
− 例: ¬Q, (P→Q) ├ ¬P 是有效的推理结构。
» 由真值表可见,只有第1行解释令 ¬Q∧(P→Q)=T。而对应此解释, ¬P =T 。
P Q ¬Q P→Q ¬Q ∧(P→Q) ¬P
F F T T T T
F T F T F T
T F T F F F
T T F T F F
− 例: ¬P, (P→Q) ├¬Q 不是有效的推理结构。
» 由其真值表可见,存在第2行解释令 ¬P∧(P→Q)=T。而对应此解释,¬Q =F 。
P Q ¬Q P→Q ¬Q ∧(P→Q) ¬P
F F T T T T
F T F T F T
T F
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