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维普资讯 2006年第9期 数 学 通 讯 47 哈密尔顿与四元数 程小红 宋玉靖 (首都师范大学。北京 100080) (辽宁师范大学，大连 116029) 中圉分类号：012-44 、 文献标识码：A 文章编号：0488—7395(2006)09—0047—02 ■ 复数 自16世纪出现之后，很长一段时间人们 这样的三元数组可能不存在．于是他令 ij=k，k是 认为它只是代数上虚构的量，而 是真正意义上 和 i，j一样的单位，并把三元数组写成ni+6j+dk 的数．直到 18世纪末 19世纪初的时候，数学家韦 这种形式．现在面临的问题是如何规定i，j和k之 塞尔、阿尔冈和高斯分别用复数来表示平面上的 间的乘法运算． 点和向量后，复数才渐渐被人们承认．在对复数的 据哈密尔顿 自己的叙述，他为寻找三元数组 性质有了一定认识后，人们很自然会有这样的想 的乘法运算耗费了近 15年进间．他的儿子后来回 法，会不会有表示空间中的点或向量的复数类似 忆到，哈密尔每天坐在办公室里冥思苦想，如果食 物呢? 物不送到面前 他就不吃了．直觉告诉他乘法运算 迎接这一挑战的是数学家哈密尔顿．哈密尔 是可行的，但是他就是看不到它．家里人和他一样 顿首先对复数进行了思考，他认为复数 a十6i不 经受这样的烦恼．每次哈密尔顿来吃早餐时，两个 是一个真正的和，6i是不能加到a上去的，复数 a 儿子都会问，“你已经找到三元数组的乘法运算了 +6i不过是一个二元数组 (a，b)．哈密尔顿对复 吗?”这已经成了他们对父亲的问候语了．每次，他 数只是略加研究。他的重点是要给出表示空间向 不得不摇着头重复说，他只能做加法和减法运算． 量的三元数组．模仿复数的写法，他把三元数组写 科学史上不乏这样的科学家。他们对一个问 成 口+6i+fj这种形式，其中的i，j是类似于复数 题思考多年，却在某个不经意间灵感突现．哈密尔 的虚数单位．接下来，就要给新数组定义运算．其 顿就属于这种情况．1843年 1O月 16日，他和妻子 中，加法和减法运算很简单，然而在定义乘法运算 一 起沿着皇家运河散步，突然间灵感像电火花似 时出了麻烦．仿照复数的乘法运算，令 i2=j2=一 的进发，脑海中出现了这样一个公式i2=j= = 1，可是该如何规定 i和j的积呢?哈密尔顿要求 k=一1．真是踏破铁鞋无觅处，得来全不费功夫． 三元数组满足 “模法则”．即： 哈密尔顿非常兴奋，这个整整耗费他十五年的难 若 (al+a2i+a3j)(6l+b2i+b3j)=Cl+c2i 题终于解决了．他马上取出随身带的一把小刀，把 +c3j，贝0(口12+口22+口32)(bl2+b22+b32)= i，j，k之间的基本公式刻在那桥的石栏上．现在在 cl2+ c 2+ c 2 桥上人们立了一个小石碑，上面刻着：“这里在 2 3 ． 实际上，满足模法则的一般三元数组是不存 1843年 1O月16日当哈密尔顿爵士走过时，天才 的闪光发现了四元数的乘法基本公式 i2=i2= 在的，但是哈密尔顿那个时期的人并不知道．他曾 对 i和j的乘积做过多种假定，如令 ii=0，ij=一1 =ijk=一1，他把这个结果刻在这桥的石栏上”．怕 和ij=1等等，但总能构造出两个三元数组，它们 这个公式会遗忘掉，哈密尔顿马上掏记事簿把公 的积不满足模法则．多次试验后，哈密尔顿意识到 式写下来