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哈密尔顿与四元数.pdf
维普资讯
2006年第9期 数 学 通 讯 47
哈密尔顿与四元数
程小红 宋玉靖
(首都师范大学。北京 100080) (辽宁师范大学,大连 116029)
中圉分类号:012-44 、 文献标识码:A 文章编号:0488—7395(2006)09—0047—02
■
复数 自16世纪出现之后,很长一段时间人们 这样的三元数组可能不存在.于是他令 ij=k,k是
认为它只是代数上虚构的量,而 是真正意义上 和 i,j一样的单位,并把三元数组写成ni+6j+dk
的数.直到 18世纪末 19世纪初的时候,数学家韦 这种形式.现在面临的问题是如何规定i,j和k之
塞尔、阿尔冈和高斯分别用复数来表示平面上的 间的乘法运算.
点和向量后,复数才渐渐被人们承认.在对复数的 据哈密尔顿 自己的叙述,他为寻找三元数组
性质有了一定认识后,人们很自然会有这样的想 的乘法运算耗费了近 15年进间.他的儿子后来回
法,会不会有表示空间中的点或向量的复数类似 忆到,哈密尔每天坐在办公室里冥思苦想,如果食
物呢? 物不送到面前 他就不吃了.直觉告诉他乘法运算
迎接这一挑战的是数学家哈密尔顿.哈密尔 是可行的,但是他就是看不到它.家里人和他一样
顿首先对复数进行了思考,他认为复数 a十6i不 经受这样的烦恼.每次哈密尔顿来吃早餐时,两个
是一个真正的和,6i是不能加到a上去的,复数 a 儿子都会问,“你已经找到三元数组的乘法运算了
+6i不过是一个二元数组 (a,b).哈密尔顿对复 吗?”这已经成了他们对父亲的问候语了.每次,他
数只是略加研究。他的重点是要给出表示空间向 不得不摇着头重复说,他只能做加法和减法运算.
量的三元数组.模仿复数的写法,他把三元数组写 科学史上不乏这样的科学家。他们对一个问
成 口+6i+fj这种形式,其中的i,j是类似于复数 题思考多年,却在某个不经意间灵感突现.哈密尔
的虚数单位.接下来,就要给新数组定义运算.其 顿就属于这种情况.1843年 1O月 16日,他和妻子
中,加法和减法运算很简单,然而在定义乘法运算 一 起沿着皇家运河散步,突然间灵感像电火花似
时出了麻烦.仿照复数的乘法运算,令 i2=j2=一 的进发,脑海中出现了这样一个公式i2=j= =
1,可是该如何规定 i和j的积呢?哈密尔顿要求 k=一1.真是踏破铁鞋无觅处,得来全不费功夫.
三元数组满足 “模法则”.即: 哈密尔顿非常兴奋,这个整整耗费他十五年的难
若 (al+a2i+a3j)(6l+b2i+b3j)=Cl+c2i 题终于解决了.他马上取出随身带的一把小刀,把
+c3j,贝0(口12+口22+口32)(bl2+b22+b32)= i,j,k之间的基本公式刻在那桥的石栏上.现在在
cl2+ c 2+ c 2 桥上人们立了一个小石碑,上面刻着:“这里在
2 3 .
实际上,满足模法则的一般三元数组是不存 1843年 1O月16日当哈密尔顿爵士走过时,天才
的闪光发现了四元数的乘法基本公式 i2=i2=
在的,但是哈密尔顿那个时期的人并不知道.他曾
对 i和j的乘积做过多种假定,如令 ii=0,ij=一1 =ijk=一1,他把这个结果刻在这桥的石栏上”.怕
和ij=1等等,但总能构造出两个三元数组,它们 这个公式会遗忘掉,哈密尔顿马上掏记事簿把公
的积不满足模法则.多次试验后,哈密尔顿意识到 式写下来
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