逆矩阵的几种求法与解析 很全很经典.pdf

逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆 矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主 要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A为 可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA是可逆矩阵, 且 -1 2 K -1 （E-A） = E + A + A +…+A 证明 因为E 与A 可以交换, 所以 2 K -1 K (E- A )(E+A + A +…+ A )= E-A , K 因A = 0 ,于是得 2 K -1 (E-A) （E+A+A +…+A ） E， 2 K -1 同理可得 （E + A + A +…+A ）(E-A) E， 因此E-A是可逆矩阵,且 -1 2 K -1 (E-A) = E + A + A +…+A . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 -1 2 K -1 K -1 (E+ A) E -A + A +…+ （-1） A . K 由此可知, 只要满足A =0，就可以利用此题求出一类矩阵E± A的逆矩阵. é0 1 0 0ù ê ú 例2 设 A ê0 2 0 0 ú,求 E-A的逆矩阵. ê0 0 0 3 ú ê ú ë0 0 0 0û K 分析 由于A中有许多元素为零, 考虑A 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以 采用例2 的方法求E-A的逆矩阵. 解 容易验证 é0 0 2 0ù é0 0 0 6ù ê ú ê ú 0 0 0 6 0 0 0 0 2 ê ú 3 ê ú 4 A ， A ， A =0 ê0 0 0 0 ú ê0 0