酒杯中的数学问题.pdf

维普资讯 8 数 学 通 讯 2006年第 15期 酒杯中的数学问题 ，葛晓光 (通州市兴仁中学，江苏 226371) 中图分类号：O123．1 文献标识码 ：A 文章编号：0488—7395(2006)l5—0008—0l 在平时的教学中，我们应该强化学生对数学知 当满足IPBI≥r恒成时，玻璃球一定会触及酒 识的应用意识，其实只要细心观察就不难发现：在我 杯底部，即~／口十(口一r)≥r恒成立， 们的生活中，数学的应用是无处不在的． 所以2r≤口+1恒成立， 本文就来谈谈圆锥曲线知识在酒杯系列问题中 因而2r≤(口十1) =1． 的应用． 1 即当0r≤去am时，玻璃球一定会触及杯底． 例 1 厨师李先生家中有一种酒 杯(如图1)酒杯的轴截面为抛物线的 说明：思路 1主要是运用了方程的思想，思路 2 一 部分，杯 口宽4cm，杯深4cm，称之 则是运用了最值的思想． 为抛物线型酒杯，若将一些大小不一 例 2 李先生工作的酒店里有一 的玻璃球放入该酒杯中，有些能触及 种轴截面为椭圆一部分的椭圆型酒 酒杯底部，而有些则不能．你能用所 杯(如图2)杯 口宽 3．6cm，杯深为 学数学知识分析出，当玻璃球的半径 9cm，中间最宽处宽6cm．将一个半径 图1 例 1图 r在什么范围内，玻璃球一定会触及 为r的玻璃球放入酒杯中，问，．在什 酒杯底部? 么范围内可 以使玻璃球触及酒杯底 图 2 解 以杯底为原点建立直角坐标系．设抛物线 部? 例2图 方程 =2py(Y0)，由题意，点 (2，4)在抛物线 解 以椭 圆的中心为原点建 立直角坐标系，设椭圆方程为 上，将(2，4)代入抛物线方程，得P ，所以抛物线 十 1(口60)， 方程为X2=Y．下面分2种思路来说明： [思路 1] 设圆心在Y轴正半轴并且过原点的 由题意，可得 b=3，且点(1．8，9一口)在椭圆上， 圆的方程为 将该点代入椭圆方程，解得 n=5，则椭圆方程为 十(Y—r)=r2， 去2十x2=1． 将它代入抛物线方程，消去x，得 设圆心为 S(0，r一5)，半径为r的圆的方程 Y十(1—2r)y=0， 解得Y=0，Y2=2r—1．要使玻璃球能触及酒 十(Y+5一r)一r，与椭圆方程联立，消去 可得 8y2十25(5一r)十425—125r：0， 杯底部，需满足Y2=2r一14o．