线性代数课后题分析与全解.ppt

则 D等于下列两个行列式之和。 称为双对角行列式. 解: 分析此行列式的特点，每列的上下行之间相差一个相同的常数，这时我们一般从后行开始，后行减前行，从后 往前运算： 例5. 计算4阶行列式 解： 练习： 线性代数 授课教师：高永丽 2010-2011第二学期 前节回顾： 1.N阶行列式的定义 ①取项；②冠符；③求和。 2. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性 2.n阶行列式的定义 是标准排列， 的逆序数。 其中，行标排列 任取一项： 3.行列式的列顺序表示 t为列标排列 新的行标排列为 新的列标排列为 则它的逆序数r为奇数，即 记它的逆序数为 ， 则： 结论 调换行列式的乘积项中两元素的次序，行标排列与列 标排列的逆序数之和不改变奇偶性。（调换若干次以后， 列表排列为标准排列） 定理2 (列顺序表示法) n 阶行列式也可定义为 注：n阶行列式的第三种表示方法： 其中 s 为行标排列 的逆序数； 的逆序数。 t 为列标排列 其中 s 为行标排列 的逆序数。 此时列标排列为： 注：本题还有其它解法吗？ 例1. 在6 阶行列式中，项 应带什么符号？ 列标排列的逆序数为： 故本项应带正号。 练习： 在6阶在行列式中应该带什么符号呢？ 解： 按行标排列成标准顺序， 得 431265 t=0+1+2+2+0+1=6 例2：用行列式的定义计算： 解： 其中t为列标排列：n-1 n-2… 1 n的逆序数，所以 例3. 证明：在所有 n 个元素的排列中，奇偶排列各占一半。 证明：设有s个奇排列，t个偶排列。 把t个偶排列的前两个元素对换，则这些偶排列全部 把s个奇排列的前两个元素对换，则这些奇排列全部 变为偶排列，即 。 变为奇排列， 即 ，所以 。 3. 行列式的性质 性质1： 证明：记 据行列式的定义： 注：所以在行列式中，行与列具有同等的地位，那么它们的性质也一样。下面介绍的其他性质只要对行成立的，对列也成立。 证明： 把 交换两行后所得的行列式记为 则 性质2： 互换行列式的两行（列），行列式要变号。 即当 则： 注意，其中 为自然排列，而 t 为排列 的逆序数。 若记排列 的逆序数为 ，则有 故： 推论：如果行列式的两行（列）相同，则此行列式为零。 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式。 记作： 推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列 式为零。 性质5 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和， 例如 即 性质6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数后加 到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。 记作： 注：用以上性质及一些特殊结论，就可以对一般行列式进行化简，即将所给行列式化为上（下）三角行列式，这就是消元法 推论：任意n阶行列式总能通过 化为三角行列式。 例 1 计算 解： 注：（1）按顺序化简，先把第一列对角线以下的元素化为0，再化第二列，依次进行。 （2）区别记号 与 练习：计算三阶行列式 原式 例 2 计算行列式 解：这个行列式的特点是每一列（行）的4个数之和都相等，我们可将其它各行都加到第一行。 注：通常把各行（或各列）元素之和相等的行列式叫做 典型字母行列式。如： （箭形行列式） 解： 练习：计算n阶行列式 例3 证明： （记住本题的结论） 证明： 解： 例4. 计算2n阶行列式（其中未写出的元素都是0） 中的第2n行依次与第2n-1行，…，第2行交换位置 共作了2n-2次； 再把 第2n列依次与第2n-1列，…，第2列交换位置，得： 将 注：从方法上来说，又称此行列式为递推型行列式。