(中文)第一章 随机信号分析引论-2016-9-12要点.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 平稳随机信号序列的线性模型 平稳随机信号的线性模型(The Linear Models of Stationary Random Signal Sequences) 在时域信号序列分析中，自回归(Autoregressive ，AR)、滑动平均(Moving Average，MA)和自回归滑动平均(Autoregressive Moving Average，ARMA)模型是三种最常用的标准线性模型，下面先引出信号线性模型的概念，在分别讨论上述三种线性模型。 线性模型的引出(The Derivation of Linear Models) 研究如下图所示的离散线性系统，容易写出其差分方 h(n) w(n) x(n) 平稳随机信号序列的线性模型 程和系统函数为： 由系统理论知，只要H(z)的极点(A(z)的零点)均在z平面单位圆内，则H(z)对应一个稳定的因果系统，H(z)一定存在，可以描述平稳随机信号。 一般模型可分成二个支路：A(z)对应AR支路的z变换；B(z)对应MA支路的z变换。 由随机信号通过线性系统的相关知识知，若rww(m)的z变换为Pww(z)， rxx(m)的z变换为Pxx(z)；则有： 平稳随机信号序列的线性模型 若w(n)是零均值，方差为 的白噪声序列，则由维纳－辛钦定理有： 很显然，若系统稳定，则可由h(m)或H(ej?)求得rxx(m)或Pxx(ej?)，即随机信号特性可与一个相应线性系统的系统函数对应，亦即可用一个线性系统系统函数（线性模型）描述随机信号。 三种时间序列模型(Three Kind Models of Time Sequences) 滑动平均(Moving Average，MA)模型 在一般模型中，若ai=0，i=1,2,?,p；则该模型称为q阶MA模型，记作MA(q)。对应的差分方程和系统函数为： 平稳随机信号序列的线性模型 该模型除了原点外，在z平面上无极点，只有零点，是全零点模型。 若模型全部零点都在单位圆内，则模型是一个最小相位系统，而且是可逆的。 自回归(Autoregressive ，AR)模型 在一般模型中，若bi=0，i=1,2,?,q；则该模型称为p阶AR模型，记作AR(p)。对应的差分方程和系统函数为： 该模型除了原点外，在z平面上无零点，只有极点，是全极点模型。 平稳随机信号序列的线性模型 只有当模型全部极点都在单位圆内时，模型才稳定。 自回归滑动平均(Autoregressive Moving Average，ARMA)模型 在一般模型中，若ai与bi不全为零，此时模型称为ARMA模型，记作ARMA(p,q)。对应的差分方程和系统函数为： 模型在有限z平面上既有零点，又有极点。 分子对应MA部分，分母对应AR部分，两部分无公因子，应分别满足稳定性和可逆性条件。即零极点应均在单位圆内。 平稳随机信号序列的线性模型 三种模型间的关系(The Connection Among Three Models) 一般而言，一个广义平稳随机过程可以通过选择适当的线性模型来准确描述。即三种信号模型都有普遍的适用性质。 沃尔德分解定理(Wold Decomposition Theorem) 任意一个实平稳随机序列均可分解成完全随机分量和确定性分量之和： x(n)=u(n)+v(n) 式中，u(n)是确定性分量，其功率谱是离散的，确定性分量可以不存在或去掉。v(n)是具有连续功率谱的反映随机分量的MA序列。 沃尔德分解定理证明了：若信号功率谱是连续的，均可用MA序列描述。也说明MA模型具有普遍适用性质，ARMA模型包含了MA模型部分，因此ARMA模型也具有普遍适用性质。而通过柯尔莫哥洛夫定理说明了AR模型的普遍适用性。 平稳随机信号序列的线性模型 柯尔莫哥洛夫定理(Kolmogorov Theorem) 任何ARMA或MA过程都可以用无限阶的AR过程表示。 证明：设MA序列为： 由z变换，有： X(z)=B(z)W(z) 设信号满足可逆条件，即下式存在： 所以有： 即有： 平稳随机信号序列的线性模型 对上式做z反变换，得： x(n)+g1x(n-1)+g2x(n-2)+?=w(n) 为信号x(n)的AR模型差分方程，即MA序列也可用无穷阶AR模型表示。同理可以证明，ARMA序列也可用AR模型表示。 例1-1 求出用AR模型表示ARMA(1,1)时，模型系数间的关系。 解：设ARMA(1,1)系统函数为： AR模型系统函数用下式表示： 令HAR(z