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–信号(清华大学出版社)第六章第二讲
z变换与拉氏变换的关系 1. s -z 平面的映射关系 复变量关系 z?s : z=esT, s=(1/T)lnz 坐标关系:s=?+j?, z=rej? ∵rej?=e(?+j?)T,∴r=e?T, ?=?T * * §6-3 z逆变换 已知序列的象函数F(z),求原序列f(k)的过程称为z反变换或逆变换。 C是F(z) zk-1包围所有极点的闭合积分路线,通常取收敛域内以原点为中心的一个圆。 -1 求单边z反变换的一般方法 1)把F(z)展开为z-1的幂级数,其各项系数即为原序列各样本值。 2)将F(z)部分分式展开成较简单的基本函数分别求各部分的z反变换。 3)围线积分法(留数法)。 §6-3 z逆变换 二、部分分式展开法 对因果序列,n?m,一般将 展开 §6-3 z逆变换 1) 仅含有单极点 则 其它 所以有 二、部分分式展开法 §6-3 z逆变换 若有共轭单极点,则写成余弦形式 二、部分分式展开法 §6-3 z逆变换 2) 含有多重极点, 二、部分分式展开法 §6-3 z逆变换 有 二、部分分式展开法 §6-3 z逆变换 例:设有z变换式 求原序列f(k)。 解: 所以 二、部分分式展开法 §6-3 z逆变换 三、围线积分法(留数法)(自学) 借助于复变函数留数定理,上式积分值等于C所包围 极点的留数之和。 §6-3 z逆变换 -1 如果F(z)zk-1在z=pm处有n阶极点,则留数 n=1 三、围线积分法(留数法)(自学) §6-3 z逆变换 §6-4 离散系统的z域分析 线性时不变离散系统的差分方程一般描述为 激励及响应都视为有始序列,等式两边取单边Z变换,据移序取单边Z变换性质 上式为离散系统全响应的Z域代数方程 §6-4 离散系统的z域分析 (1)若激励f(k)=0即系统处于零输入状态,相应的响应由初始状态y(-p),y(-p+1),…y(-1)引起,为零输入响应, Z域代数方程方程为 §6-4 离散系统的z域分析 零输入响应序列 §6-4 离散系统的z域分析 (2)若系统初始状态为零状态即y(l)=0(? p ?l ??1) ,相应的响应由外施激励f (k)(k?0)引起,为零状态响应, f (k)为因果序列, f (k)=0 (k ? ? 1),Z域代数方程方程为 §6-4 离散系统的z域分析 上式中令 零状态响应序列 §6-4 离散系统的z域分析 例: 已知离散时间系统的传输算子为 激励为零时的初始值y(0)=2,y(1)=4,系统的输入为单位阶跃序列,求系统的响应。 §6-4 离散系统的z域分析 解法一 写出系统的差分方程 上式两边进行Z变换 可求得 §6-4 离散系统的z域分析 代入 解得 §6-4 离散系统的z域分析 所以 §6-4 离散系统的z域分析 解法二分别求零输入响应yx(k) 零状态响应yf(k) 1)求零输入响应 差分方程 Z变换 代入 §6-4 离散系统的z域分析 解得 所以 §6-4 离散系统的z域分析 2)求零状态响应 §6-4 离散系统的z域分析 §6-4 离散系统的z域分析 §6-4 离散系统的z域分析 §6-5 离散系统的系统函数H(Z) 一、 H(Z)的定义 对于一LTI离散时间系统其零状态响应时域解为 据Z变换时域卷积定理 定义 离散时间系统的系统函数 (1)若已知激励和响应的Z变换,据定义式求。 (2)已知差分方程,对两边取Z变换,同 时k0时 f(k),y(k)均取零。 (3)已知系统的单位冲激序列求其Z变换。 (4)已知系统的传输算子H(E),将E换为Z。 (5)已知系统的模拟图,将E换为Z 用梅森公式。 二、 H(Z)的求法 §6-5 离散系统的系统函数H(Z) 解: 在零状态条件下,对差分方程两边取单边z变换 则 求该离散系统的系统函数H(Z) 已知描述离散系统的差分方程为 求该离散系统的系统函数H(Z) 三、 据H(Z)的极点分布判断系统的稳定性。 离散时间系统是稳定系统的充要条件是单位序列响应绝对可和,对于因果系统可写为 (1)对于因果系统若H(Z)的极点全部位于单位圆内则稳定 §6-5 离散系统的系统函数H(Z)
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