- 1、本文档共5页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
查看更多
第七章点集拓扑学练习题参考解析
点集拓扑学练习题参考答案(第7章)
一、单项选择题
1、若拓扑空间的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间 是一个( )
① lindeloff空间 ②正则空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间
答案:③
2、紧致空间中的每一个闭子集都是( )
①非紧致子集 ②开集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对
答案:③
3、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是( )
① 即开又闭子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对
答案:③
4、拓扑空间的任何一个有限子集都是( )
① 闭集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集
答案:②
5、实数空间的子集是( )
① 闭集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集
答案:①②
6、如果拓扑空间的每个紧致子集都是闭集,则是( )
①空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间
答案:①
7、设是拓扑空间,是的子集,则下列不正确的命题是 ( )
①. 若是序列紧致的,则是可数紧致的
②. 是列紧的当且仅当是序列紧致的
③. 若是可数紧致的,则是列紧的
④. 若是紧致的,则是列紧的
答案:②
二、填空题(每题1分)
1、设是一个拓扑空间.如果的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间
是一个 .
答案:紧致空间
2、设是一个拓扑空间,是的一个子集.如果作为的子空间是一个紧致空间,
则称是拓扑空间的一个 .
答案:紧致子集
3、设是一个拓扑空间. 如果的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖,则称拓扑空间是一个 可数紧致空间
4、设是一个拓扑空间. 如果的每一个无限子集都有凝聚点,则称拓扑空间是一
个 .
答案:列紧空间
5、设是一个拓扑空间. 如果中的每一个序列都有一个收敛的子序列,则称拓扑空间是一个 .
答案:序列紧致空间
6. 当X为___________________________空间,则X的闭集是紧致子集;
X为___________________________空间,则X的紧致子集是闭集;
7. X为__________________________________, 且为序列紧空间时, X为可数紧空间.
8.为连续的满射,则Y是 。
(填Y具有哪些具体的紧致性、可数性、分离性等性质,写3个)
三.判断(每题4分,判断1分,理由3分)
1、设是拓扑空间的两个紧致子集,则是一个紧致子集.( )
答案:√
理由:设A 是一个由中的开集构成的的覆盖,由于和都是的紧致子集,从而存在A 的有限子族 A 1 A 2 分别是和的覆盖,故是A 的有限子族且覆盖,所以是紧致子集.
2、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )
答案:√
理由:设是Hausdorff空间的一个紧致子集,则对于任何,若,则易知不是的凝聚点,因此,从而是一个闭集.
四.简答题(每题4分)
1、试说明紧致空间的无穷子集必有凝聚点.
答案:如果的无穷子集的没有凝聚点,则对于任意,有开邻域,使得,于是的开覆盖没有有限子覆盖,从而不是紧致空间,矛盾.故紧致空间的无穷子集必有凝聚点.
2、如果是紧致空间,则是紧致空间.
答案:考虑投射,由于是一个连续的满射,从而由紧致知是一个紧致空间.
3、试说明紧致空间的每一个闭子集都是紧致子集.
答案:如果A 是的任意一个由中的开集构成的覆盖,则是的一个开覆盖.设是的一个有限子族并且覆盖.则便是A 的一个有限子族并且覆盖,从而是紧致子集.
五、证明题(每题8分)
1、设是两个拓扑空间,是一个连续映射.如果是的一个紧致子集,证明是的一个紧致子集.
证明:设C是的一个由中的开集构成的覆盖.对于任意,是中的一个开集,由于,从而有:
所以A 是一个由中的开集构成的的覆盖.
由于是的一个紧致子集,所以A 有一个有限子族,设为覆盖.
因为,从而,
即是C 的一个子族并且覆盖,因此是的一个紧致子集.
2、设是一个正则空间,是的一个紧致子集,.证明:如果
文档评论(0)