第七章点集拓扑学练习题参考解析.doc

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第七章点集拓扑学练习题参考解析

点集拓扑学练习题参考答案(第7章) 一、单项选择题 1、若拓扑空间的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间 是一个( ) ① lindeloff空间 ②正则空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间                            答案:③ 2、紧致空间中的每一个闭子集都是( )   ①非紧致子集 ②开集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对                            答案:③ 3、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是( ) ① 即开又闭子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对                           答案:③ 4、拓扑空间的任何一个有限子集都是( ) ① 闭集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集                          答案:② 5、实数空间的子集是( ) ① 闭集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集                          答案:①② 6、如果拓扑空间的每个紧致子集都是闭集,则是( ) ①空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间 答案:① 7、设是拓扑空间,是的子集,则下列不正确的命题是 ( ) ①. 若是序列紧致的,则是可数紧致的 ②. 是列紧的当且仅当是序列紧致的 ③. 若是可数紧致的,则是列紧的 ④. 若是紧致的,则是列紧的 答案:② 二、填空题(每题1分) 1、设是一个拓扑空间.如果的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间 是一个 . 答案:紧致空间 2、设是一个拓扑空间,是的一个子集.如果作为的子空间是一个紧致空间, 则称是拓扑空间的一个 . 答案:紧致子集 3、设是一个拓扑空间. 如果的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖,则称拓扑空间是一个 可数紧致空间 4、设是一个拓扑空间. 如果的每一个无限子集都有凝聚点,则称拓扑空间是一 个 . 答案:列紧空间 5、设是一个拓扑空间. 如果中的每一个序列都有一个收敛的子序列,则称拓扑空间是一个 . 答案:序列紧致空间 6. 当X为___________________________空间,则X的闭集是紧致子集; X为___________________________空间,则X的紧致子集是闭集; 7. X为__________________________________, 且为序列紧空间时, X为可数紧空间. 8.为连续的满射,则Y是 。 (填Y具有哪些具体的紧致性、可数性、分离性等性质,写3个) 三.判断(每题4分,判断1分,理由3分) 1、设是拓扑空间的两个紧致子集,则是一个紧致子集.( ) 答案:√ 理由:设A 是一个由中的开集构成的的覆盖,由于和都是的紧致子集,从而存在A 的有限子族 A 1 A 2 分别是和的覆盖,故是A 的有限子族且覆盖,所以是紧致子集. 2、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集.( ) 答案:√ 理由:设是Hausdorff空间的一个紧致子集,则对于任何,若,则易知不是的凝聚点,因此,从而是一个闭集. 四.简答题(每题4分) 1、试说明紧致空间的无穷子集必有凝聚点. 答案:如果的无穷子集的没有凝聚点,则对于任意,有开邻域,使得,于是的开覆盖没有有限子覆盖,从而不是紧致空间,矛盾.故紧致空间的无穷子集必有凝聚点. 2、如果是紧致空间,则是紧致空间. 答案:考虑投射,由于是一个连续的满射,从而由紧致知是一个紧致空间. 3、试说明紧致空间的每一个闭子集都是紧致子集. 答案:如果A 是的任意一个由中的开集构成的覆盖,则是的一个开覆盖.设是的一个有限子族并且覆盖.则便是A 的一个有限子族并且覆盖,从而是紧致子集. 五、证明题(每题8分) 1、设是两个拓扑空间,是一个连续映射.如果是的一个紧致子集,证明是的一个紧致子集. 证明:设C是的一个由中的开集构成的覆盖.对于任意,是中的一个开集,由于,从而有: 所以A 是一个由中的开集构成的的覆盖. 由于是的一个紧致子集,所以A 有一个有限子族,设为覆盖. 因为,从而, 即是C 的一个子族并且覆盖,因此是的一个紧致子集. 2、设是一个正则空间,是的一个紧致子集,.证明:如果

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