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第六章点集拓扑学练习题参考解析
点集拓扑学练习题(第6章)
一、单项选择题
1、设是一个拓扑空间,若对于,均有,
则是( )
① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对
答案:①
2、设,,则是( )
① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对
答案:①
3、设,,则是( )
① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对
答案:④
4、设,,则是( )
① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对
答案:④
5、设是一个拓扑空间,若的每一个单点集都是闭集,则是( )
①正则空间 ②正规空间 ③ 空间 ④ 空间
答案:③
6、设是一个拓扑空间,若的每一个有限子集都是闭集,则是( )
①正则空间 ②正规空间 ③ 空间 ④ 空间
答案:③
7、设是一个拓扑空间,若对及的每一个开邻域,都存在的一个开
邻域,使得,则是( )
①正则空间 ②正规空间 ③ 空间 ④ 空间
答案:①
8、设是一个拓扑空间,若对的任何一个闭集及的每一个开邻域,都存
在的一个开邻域,使得,则是( )
①正则空间 ②正规空间 ③ 空间 ④ 空间
答案:②
9、设,,则是( )
①空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 正规空间
答案:④
10、设,,则是( )
①空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 正则空间
答案:④
11. 设(X., T )是度量空间,则(X., T )不必是:( )
答案:C
12. 下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是( D )
(A) 公理 (B) 公理 (C) 公理 (D) 公理
二、填空题
1.T1空间__不一定是______有限补空间,有限补空间 ___是______T1空间。(填”
是”或”不是”或”不一定是”)。
2. 正规空间的每一个 闭子空间 也是正规空间. 可分空间的每一个 开子空间 也是可分空间.
三.判断题
1、设,,则是空间.( )
答案:×
理由:因为是的一个闭集,对于点1和没有各自的开邻域互不相交,所以不是正则空间,从而不是空间.
注:也可以说明不是空间.
2、设,,则是空间.( )
答案:×
理由:因为对于点1和点2,2没有开邻域不包含1,从而不是 空间.故是空间.
注:也可以考虑点2和点3.
3、空间一定是空间.( )
答案:√
理由:因为空间是正则的空间,所以对于空间中的任意不同的两点,是中的闭集,由于是正则空间,从而对于它们有各自的开邻域使得,所以是空间.
4.具有可数基的正则空间是正规空间。 ( √ )
5.在A2且T3的拓扑空间中,紧致子集是有界闭集。 ( √ )
6.在T0空间中,A的凝聚点的任一邻域中含有A的无限多个点 。(× )
四.简答题(每题4分)
1、设是一个空间,试说明的每一个单点集是闭集.
答案:对,由于是空间,从而对每一个,点有一个邻域使得,即,故,因此,这说明单点集是一个闭集.
2、设是一个拓扑空间,若的每一个单点集都是闭集,试说明是一个空间.
答案:对于任意,都是闭集,从而和分别是和的开邻域,并且有,.从而是一个空间.
3、若是一个正则空间,试说明:对及的每一个开邻域,都存在的一个开邻域,使得.
答案: 对,设是的任何一个开邻域,则的补集是一个不包含点的一个闭集.由于是一个正则空间,于是和分别有开邻域和,使得,因此,所以.
4、若是一个正规空间,试说明:对的任何一个闭集及的每一个开邻域,都存在的一
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