圆和方程讲解习题.ppt

解法2：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过A（1,4）,B（3,2）两点， 所以圆心必在线段AB的中垂线l上,又因为kAB=　　　=-1,故l的斜率为1, 又AB的中点为（2，3）,故线段AB的中垂线l的方程为x-y+1=0. 又知圆心在直线y=0上,故圆心为C(-1，0)， 所以半径 　　　　　　　　　　 故所求圆的方程为(x+1)2+y2=20. 又点P(2,4)到圆心(-1，0)的距离为 所以点P在圆外. (Ⅱ)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， 因为三点A(4,1)，B(6，-3)，C(-3,0)都在圆上， 所以它们的坐标都是方程的解，将它们的坐标代入方程得， 42+12+4D+E+F=0 62+(-3)2+6D-3E+F=0 (-3)2+02-3D+0·E+F=0 ，解得 D=-2 E=6 F=-15. 所以圆的方程为x2+y2-2x+6y-15=0， 即（x-1）2+（y+3）2=25， 所以圆心坐标为（1，-3），半径为r=5. 　　　“待定系数法”是求圆的方程的常用方法.一般的，在选用圆的方程形式时，若问题涉及圆心和半径，则选用标准方程比较简便，否则选用一般方程方便些. 　　　　　　根据下列条件求圆的方程. （Ⅰ）圆过P（4,-2）,Q（-1,3）两点，且在y轴上截得的线段长为4 　. （Ⅱ）已知圆的半径为　 ，圆心在直线y=2x上，圆被直线x-y=0截得的弦长为4 . (Ⅰ)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. ① 　　　　　　　　　　　 4D-2E+F=-20 　　　　　　　　　　　　D-3E-F=10， 令x=0,由①得y2+Ey+F=0. ② 由已知 　其中y1,y2是方程②的两根， (y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48， 联立方程解得D=-2,E=0,F=-12或D=-10,E=-8,F=4， 故所求的圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0. 将P,Q点的坐标代入①式得 (Ⅱ)解法1：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=10， 由圆心在直线y=2x上，得b=2a， ① 由圆在直线x-y=0截得的弦长为4 ， 将y=x代入(x-a)2+(y-b)2=10. 整理得2x2-2(a+b)x+a2+b2-10=0. 由弦长公式得 化简得a-b=±2. ② 解①②得a=2,b=4或a=-2,b=-4, 所以所求圆方程为(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10. 解法2：根据图形的几何性质：半径，弦长的一半，弦心距构成直角三角形，由勾股定理， 可得弦心距 因为弦心距等于圆心（a,b）到直线x-y=0的距离， 所以 又已知b=2a， 解得a=2,b=4或a=-2,b=-4. 所以所求圆方程为（x-2）2+（y-4）2=10或（x+2）2+（y+4）2=10. 　　重点突破：与圆有关的最值问题 　　已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0 （Ⅰ）求y-x的最大值和最小值, （Ⅱ）求x2+y2的最大值和最小值. 　　　　根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解. 　 方程x2+y2-4x+1=0变形为(x-2)2+y2=3，所表示的图形是圆. (Ⅰ)y-x看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时， 纵截距b取得最大值和最小值，此时 解得b=-2± , 所以y-x的最大值为-2+ ，最小值为-2- . （Ⅱ）x2+y2表示圆上一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值. 又圆心到原点的距离为 所以x2+y2的最大值是(2+　)2=7+4　　;最小值是(2-　 )2=7-4 . 　　　涉及与圆有关的最值，可以借助圆的几何性质，依照数形结合思想进行求解；联想过两点的直线的斜率公式，两点间距离公式，过定点的直线系或平行线系等知识的应用. 　　　　　已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0，求　的最大值与最小值. 　　　设　=k，即y=kx，当直线y=kx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值.因为圆心（2,0）到直线y=kx的距离为　，所以 　　　　得k=±　 . 所以 　　重点突破：直线与圆的方程的应用 　　图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4