《线性代数和其应用》要点整理.docx

《线性代数及其应用》要点整理 [使用方法：同学们参照这个目录进行回忆，发现没有掌握的部分立即查阅教材或复习资料] 必须掌握的核心计算方法 求线性方程组的解； 矩阵的加法及数乘； 矩阵乘法； 行列法则，矩阵乘法的性质，矩阵的幂； 求线性变换的标准矩阵； 矩阵的LU分解； 矩阵的转置 求矩阵的逆； 化简增广矩阵[A I]，逆矩阵公式（伴随矩阵的求法）； 求矩阵的行列式值： 余因子展开法（降阶法），行变换法，三角矩阵行列式值的特殊求法； 通过行列式求平行四边形面积和平行六面体的体积； 求矩阵的零空间、列空间的基； 求向量在向量空间中相对于一组基的坐标； 求矩阵的特征向量和特征值； 矩阵的对角化； 向量的内积、长度（范数）； 向量的正交化： 正交分解，正交投影，The Gram-Schmidt Process，一组基的正交化、单位正交化； 矩阵的QR分解； 最小二乘问题： 求???小二乘解，最小二乘误差，求解法方程； 对称矩阵的对角化； 二次型： 将对称矩阵写为二次型，将二次型还原为对称矩阵，二次型的变量代换（消去交叉项）； 核心概念 线性方程组（齐次、非齐次，相容、不相容）； 矩阵（系数、增广，阶梯型、简化阶梯型，奇异、非奇异、可逆、不可逆，单位、初等、对角、三角、对称、相似，正交）； 线性无关和线性相关； 线性变换； 子空间（零子空间，矩阵的行、列、零空间，同构）； 向量空间的维数和秩； 向量空间的基； 行列式； 特征方程、特征值、特征向量； 向量的内积、长度； 正交集，正交投影，正交补； 最小二乘解，最小二乘误差； 二次型（正定、负定、不定，几何理解）。 核心定理(注明格式m.n；m代表章节数，n代表定理序号，如1.1代表第一章定理1) [老师提及过的定理都应该掌握，这里列出最核心的可供同学们发散开来构造知识体系的定理] 满射和单射的相关定理（1.11，1.12）； 可逆矩阵定理（可查分章概念总结第二章的第2点）； 张成集定理（4.5），基定理（2.15，4.12）； 行列式的性质定理（5.3）； 对角化定理（5.5）； 谱定理（7.3）；