3–4定积分与微积分基本定理.ppt

第*页 高考调研 · 高三总复习 · 数学 （理） 第4课时　定积分与微积分基本定理 * * * * 第*页 高考调研 · 高三总复习 · 数学 （理） 2016考纲下载 1．了解定积分的实际背景了解定积分的基本思想了解定积分的概念．了解微积分 请注意本节为新增内容高考中多以选择填空题形式考查主要借助微积分基本定理求定积分或解决几何或物理知识． 课前自助餐 定积分的定义如果函数(x)在区间[a]上连续用分点a＝x－1b，将区间[a]等分成n个小区间在每个区间[x－1]上取一点ξ(i＝1)，作和式(ξi)Δxi＝ f(ξi)，当n→＋∞时上述和式无限接近某个常数这个常数叫做函数x)在区间[a]上定积分记作(x)dx，即f(x)dx＝lim(ξi)．其定义体现求定积分的四个步骤：分割；②近似代替；③取和；④取极限． 定积分运算律(1)kf(x)dx＝k(x)dx；(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝(x)dx±f2(x)dx；(3)f(x)dx＝(x)dx＋(x)dx(acb)． 微积分基本定理一般地如果(x)是区间[a]上的连续F′(x)＝(x)，那么(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)这个结论叫做微积分基本定理． 定积分的几何和物理应用(1)①如图所示由曲线y＝f(x)，y2＝f(x)(不f1(x)≥f2(x)≥0)及直线x＝a＝b(ab)围成图形的面积为： ②如图所示在区间[a]上若(x)≤0，则曲边梯形的面积为： (2)作变速直线运动的物体所经过的路程s等于其速度函数v＝v(t)[v(t)≥0]在时间区间[a]上的定积分即＝(t)dt． (3)如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(ab)那么变力F(x)所做的功W＝(x)dx． 1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．(1)若函数y＝(x)在区间[a]上连续则(x)dx＝(t)dt. (2)若(x)dx0，则由y＝(x)，x＝a＝b以及x轴所围成的图形一x轴下方．(3)若(x)是偶函数则(x)dx＝2(x)dx. (4)若(x)是奇函数则(x)dx＝0. 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(课本习题改编)ex＋x2)dx等于(　　)　　　　　　　　　．－1＋1 答案　解析　(＋2x)＝(＋x)＝(＋1)－＝故选 3．(2015·湖南)(x－1)＝________． 答案　0解析　(x－1)＝(－x) ＝－2＝0. 4．(2013·湖南)若＝9则常数T的值为________． 答案　3解析　∵＝＝9＝3. 5．若(x)dx＝1f(x)dx＝－1则(x)dx＝________． 答案　－2解析　∵(x)dx＝(x)dx＋(x)dx， ∴f(x)dx＝(x)dx－(x)dx＝－1－1＝－2. 6．(2015·天津)曲线y＝x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________． 答案　解析　两曲线的交点坐标为(00)，(1，1)，所以它们所围成的封闭图形的面积为S＝(x－x)dx＝＝ 授人以渔 题型一　求定积分例1　求下列定积分：(1)5x4dx；　　　　　(2)(1＋x＋x)dx；(3)(x2＋)(4) (sinx－)dx. 【解析】　(1)∵(x)′＝5x5x4dx＝x＝10－2＝99 968.(2)(1＋x＋x)dx＝＋＋＝x＋＋ ＝(3－1)＋(3－1)＋(3－1)＝ (3)∵(x3－－3)＝x＋(x2＋)＝(－－3) ＝－－＋＝(4)0 【答案】　(1)99 968　(2)　(3)　(4)0 探究1　(1)计算一些简单的定积分解题的步骤是：把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分；分别用求导(2)对于不便求出被积函数的原函数的可考虑用定积分的几何意义求解． 思考题1　求下列定积分：(1)|x|dx；　　　　　(2)(2x＋)；(3)ex(1＋)dx. 【解析】　(3)∵(1＋)＝＋(ex＋)′＝＋ex(1＋)dx＝(＋)dx ＝(＋2x) ＝＋－－＝2＋－1－＝【答案】　1)1　(2)3＋　(3) 题型二　求平面图形的面积例2　求由曲线y＝x和直线y＝x和y＝2x围成的图形的面积．【解析】　方法一：如图(1)所示所求的面积S＝S＋S其中S是线段AC和抛物线段AB围成的区域的面积．由和分别解出O三点的横坐标分别是0 因为()＝x(x2－)＝2x－x故所求的面积＝(2x－x)＋(2x－x)dx＝＋(x－)＝－0＋(4－)－(1－)＝ 方法二：如图(1)所示所求的面积可以写成S＝S－S其中S是由线段BD及抛物线段AB所围成的区域的面积．由于D的横坐标也是2又()＝x(－)＝x－x.故＝(2x