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微积分里定义的 Γ-函数 复习 判断下列函数是否为Γ-函数: Γ-的性质: 不是Γ-函数 θ y x θ y 4. 4 指数分布 定义4.4 如果随机变量ξ的概率密度为 其中λ0，则称ξ服从参数为λ的指数分布。 它的分布函数 易知 0 x 对任何实数a,b （0≤ab),有 在习题三第12题中已经算出它的期望和方差： 指数分布常用来作为各种“寿命”分布的近似。如 随机服务系统中的服务时间，某些消耗性产品（电子 元件等）的寿命等等，都常被假定服从指数分布。 假若产品的失效率为λ，则产品在t( t0) 时间 失效的分布函数 而产品的可靠度为: 例1 某元件寿命ξ服从参数为λ(λ-1 =1000)的指数分布。3个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是多少？ 各元件寿命相互独立，因此3个这样的元件使用1000小时都未损坏的概率为 解 参数为λ的指数分布的分布函数为 例 .电子元件的寿命ξ(年）服从参数为3的指数分布 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？ 解 例.某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T， 设[0，t]时段内过桥的汽车数Xt服从 参数为?t的普哇松分布，求T的概率密度。 解 当t ≤0时， 当t 0时， =1- {在t时刻之前无汽车过桥} 于是 4.5 Γ-分布 定义4.5 如果连续性随即变量ξ具有概率密度 其中λ0，r0，则称ξ服从Γ-分布，记作ξ～Γ(λ,r) 这里的Γ(r)就是微积分里定义的 Γ-函数，即 Γ-分布在概率论，数理统计和随机过程中都有不少应用。 当r=1时，为指数分布 当r0时这个积分式收敛的，利用Γ-函数的定义可以证明 还可以计算出 当r为正整数时， 它是排队论中常用到的r阶爱而朗分布； 当r =n/2(n是正整数），λ=1/2时 就是具有n个自由度的χ2分布 简记作χ2 (n) 它是数理统计中最重要的几个常用统计量的分布之一。 表示进入到所要考虑的统计问题中自由变量的个数 自由度: 多一个约束条件,就少一个自由变量. 定理4.1 如果ξ1,ξ2,…,ξn相互独立，且ξi服从参数为λ,ri的Γ-分布，则它们的和 ξ1+ξ2+…+ξn服从参数为 r1+r2+…+rn的Γ－分布 证明：略 Γ-分布具有可加性 第四章几种重要的分布 4.1 二项分布 4.2 超几何分布 4.3 普哇松分布 4.4 指数分布 4.5 Γ-分布 4.6 正态分布 贝努里(Bernoulli)概型与二项分布 1. (0-1)分布(p26) 若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从(0－1)分布(两点分布) X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k, (0p1) k＝0，1 或 4.1二项分布 （一）随机变量ξ的分布律 (P79)定义４.1　如果随机变量ξ有概率函数， 2.(p24)定义 设将试验独立重复进行n次，每次试验中，事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为n重贝努里试验.事件A恰好发生k次的概率为 则称ξ服从参数为n,p的二项分布。记作ξ~B（n,p) 其中0P1,q=1-p, 事件Ａ至多出现m次的概率是 事件Ａ出现次数不小于?不大于? 的概率是 ξ的分布函数为: P{ξ=k}的值恰好是二项式（q+px)n展开式中第k+1项xk的系数。 例.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3. (1)设ξ为汽车行驶途中遇到的红灯数,求ξ的分布律. (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率. 解:(1)由题意,ξ~B(6,1/3),于是,ξ的分布律为: 例1 某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4，求最近６天内用水量正常的天数的分布。 解　设最近六天内用水量保持正常的天数为ξ。它服从二项分布，ξ～B(6 0.75) 用公式（4.1）计算其概率值，得到： 0 1 2 3 4 5 6 P 0.0002 0.0044 0.0330 0.1318 0.2966 0.3560 0.1780 例２ 10部机器各自独立工作，因修理调整等原因， 每部机器停车的概率为0.2，求同时停车数目ξ的分布 解：ξ服从二项分布，ξ～B(10 0.2) 可用贝努里公式计算pk。 现将计算结果列成分布表如下: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 p 0.11 0.27 0.30 0.20 0.09 0.03 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 例３　一批产品的废品率p=0.03，进行20次重复抽样 （有放回抽取）