乘法公式的再认识-因式分解5.docVIP

多项式乘多项式的再认识 ——探索因式分解的新方法 新沂市钟吾中学 何 旭 一、教学目标 1、通过摆一摆、算一算、想一想等活动，发现因式分解的新方法。 2、体会较为简单的几种分组分解法，并会利用它来分解因式。 3、能利用分组分解法，解决简单的实际问题，体会因式分解的奥妙所在。 4、经历从具体问题抽象出数学问题——建立模型——综合运用已有的知识解决问题，从中获得一些研究问题的方法和经验。 二、教学重点、难点 用分组分解法进行因式分解，解决简单的实际问题。 三、教、学具准备 三角板、长方形和正方形纸片若干也可以借助投影仪。 四、教学过程 (一)情境创设 情境1 请你用下列若干个小长方形和正方形摆成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，探求相应的等式。 例如 你能摆成下面的图形吗？你能得到怎样的等式？ 说明：设计学生动手操作，使得人人动手，人人参与，不同层次的学生都得以调动，让学生感觉到真的在“做数学”，初步感受成功的喜悦。 思考： (1)图1中各小图形的面积之和为多少呢？ (a2＋a＋a＋a＋1＋1=a2＋3a＋2a＋2a＋1a2＋3a＋2=a＋2a＋1a2＋5a＋6=a＋2a＋3x＋4x＋3x－3)(x－2) 3、(x－5)(x＋2x＋px＋qx＋px＋qx2＋p＋qx＋pqx2＋p＋qx＋pq=x＋px＋q，x2＋7xx2－5x＋6x2－3x－10因式分解吗？ 说明：通过这一活动，培养了学生观察能力和思考问题的能力，同时使学生感觉到多项式乘多项式与因式分解的实质性联系。 情境3 (1)分解因式 (a＋b2－1 m2－(n－2)2 (2)比较异同 (a＋b1与a2＋2ab＋b21 m2－(n－2)2与m2－n2＋4n4 说明：通过分解因式，巩固了用公式的方法，同时通过比较学生会惊奇地发现，a2＋2ab＋b21可以先把a2＋2ab＋b2a＋b2然后就可以分解了。 思考：通过比较，你发现了什么？ (二)探索 1、探索x2＋p＋qx＋pqx2＋7x＋12=x＋4x＋3 x2－5x＋6=x－3)(x－2) x2－3x－10=(x－5)(x＋2 a2＋3a＋2=a＋1a＋2 a2＋5a＋6=a＋2a＋3x2＋4x＋3x2＋p＋qx＋pq=x＋px＋qa2＋2ab＋b21可以转化为(a＋b2－1进而分解为(a＋b＋1a＋b1)，由此你能分解4a2－4ab＋b216c2吗？ 学生活动：仍然让他们进行小组分工合作，大部分学生很快发现让4a2－4ab＋b22a－b)2，然后利用平方差公式达到分解的目的。 说明：通过情境、问题、学生活动，步步紧逼，学生思维流畅，水到渠成。 (三)归纳总结 问题：通过刚才的探索，你能说出因式分解的新方法吗？ 学生活动：学生自由回答，总结出分组分解的方法。 说明：通过学生的积极发言，培养学生的个性思维，尊重学生的认知差异鼓励学生发表与众不同的见解。同时，他们互相补充，逐步完善，体现了集体合作精神。 (四)例题讨论 例1、三角形三边为a、b、c，则代数式a2＋b2－c2－2aba2－2ab＋b2a－b2，进而再利用平方差公式得(a－b＋c)(a－b－c)a＋cbab＋ca－b＋ca－b－cm,，两边x，y为整数，且满足x2－x－4y2＋2y=0 分析：所给的等式究竟如何处理呢？若把左边的四项按前两项与后两项分组，每组都有一公因式可提，但往下就无法分解了，为此考虑重新分组，在分组时常用加法的交换律将多项式的顺序按照分组的原则重新排列，在结合时应注意各项的系数和符号。 x2－x－4y2＋2y=(x2－4y2)－(x－y)=0→(x＋2y)(x－2y)－(x－2y)=0x－2y(x＋2y－1)=0x＋2y－1=0x＋2y=1x－2y=0，得x=2y 把x=2y代入x＋y=x=6，y=3，从而可求得面积为6×3=18(m2) 说明：1、本题分析很透彻，解题过程训练学生完成。 2、学生学会了尝试分组，加深了对分组分解的理解和掌握。 例3、你会分解2x3＋x2－6x－32x3＋x2－6x－3 2x3＋x2－6x－32x3＋x26x－32x3－6x)＋(x2－3x2(2x＋1)－3(2x＋1) =2x(x2－3)＋(x2－3) =(2x＋1)(x2－3) = (x2－3) (2x＋1) a2＋13a－14 2m2－3m－28x2－y2－2y－1 42x2＋4xy－mx－2my 4a2－b2＋2b1 a2－b2＋acbc x2－7x＋10x2＋7x－8 2、(选做) 如何求E=4x2－4xy＋1＋y2 1