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二项分布的期望与方差的详细证明
二项分布的期望的方差的证明
山西大学附属中学 韩永权 hyq616@163.com
离散型随机变量的二项分布:
在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是，（ ）
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记＝b(k；n，p)．
1 求证：服从二项分布的随机变量的期望.
证明如下：预备公式：
因为
所以
=
=
所以
方法二：
证明：若 ，则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数，现在我们来求X的数学期望。
若设
则，因为 ，
所以，则
可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是
需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。
2 求证：服从二项分布的随机变量的方差公式
预备公式：
方法一：证明：
由公式知，
方法二： 设, 则X表示重贝努里试验中的“成功” 次数。
若设
则是n次试验中“成功”的次数，，
故 ，
由于相互独立，于是
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