§1.5系统的特性和分类–例证.ppt

例2：判断下列系统是否为线性系统？ 证明齐次性 证明可加性 ■ 第 * 页 第 * 页 ■ LTI系统微分特性证明 f(t) → yzs(t) f(t - △t) → yzs(t - △ t) 根据时不变性质，有 利用线性性质得 对零状态系统 △t →0 得 判断时不变系统举例 例：判断下列系统是否为时不变系统？ （1） yzs(k) = f (k) f (k –1) （2） yzs (t) = t f (t) （3） y zs(t) = f (– t) 解 (1) 令g (k) = f(k –kd) T[{0}， g (k)] = g(k) g (k –1) = f (k –kd) f (k–kd –1 ) 而 yzs (k –kd) = f (k –kd) f (k–kd –1) 显然 T[{0}，f(k –kd)] = yzs (k –kd) 故该系统是时不变的。 (2) 令g (t) = f(t –td) ， T[{0}， g (t)] = t g (t) = t f (t –td) 而 yzs (t –td)= (t –td) f (t –td) 显然T[{0}，f(t –td)] ≠ yzs (t –td) 故该系统为时变系统。 (3) 令g (t) = f(t –td) , T[{0}，g (t) ] = g (– t) = f(– t –td) 而 yzs (t –td) = f [–( t – td)]，显然 T[{0}，f(t –td)] ≠ yzs (t –td) 故该系统为时变系统。 直观判断方法： 若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。 判断线性系统举例 例1：判断下列系统是否为线性系统？ （1） y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1 （2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)| （3） y (t) = x2(0) + 2 f (t) 解： （1） yzs(t) = 2 f (t) +1， yzi(t) = 3 x(0) + 1 显然， y (t) ≠ yzs(t) ＋ yzi(t) 不满足可分解性，故为非线性 （2） yzs(t) = | f (t)|， yzi(t) = 2 x(0) y (t) = yzs(t) + yzi(t) 满足可分解性； 由于 T[{a f (t) }, {0}] = | af (t)| ≠ a yzs(t) 不满足零状态线性。故为非线性系统。 （3） yzi(t) = x2(0)，T[ {0},{a x(0) }] =[a x(0)]2 ≠a yzi(t)不满足零输入线性。故为非线性系统。 解： y (t) = yzs(t) + yzi(t) ， 满足可分解性； T[{a f1(t)+ b f2(t) }, {0}] = aT[{f1(t)}, {0}] +bT[{ f2(t) }, {0}]，满足零状态线性； T[{0},{ax1(0) + bx2(0)} ] = e-t[ax1(0) +bx2(0)] = ae-tx1(0)+ be-tx2(0) = aT[{0},{x1(0)}] +bT[{0},{x2(0)}], 满足零输入线性； 所以，该系统为线性系统。 微分方程描述系统的线性判断 判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统? 分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有齐次性和可加性。可以证明： 所以此系统为非线性系统。 请看下面证明过程 系统不满足均匀性 系统不具有叠加性 设信号f(t)作用于系统，响应为y(t) 原方程两端乘A： (1),(2)两式矛盾。故此系统不满足齐次性 当Af(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则 (5)、(6)式矛盾，系统不具有可加性 假设有两个输入信号 分别激励系统，则由所给微分方程式分别有： 当 同时作用于系统时，若该系统为线性系统，应有 (3)+(4)得 因果系统判断举例 如下列系统均为因果系统： yzs(t) = 3f(t – 1) 而下列系统为非因果系统： (1) yzs(t) = 2f(t + 1) (2) yzs(t) = f(2t) 因为，令t=1时，有yzs(1) = 2f(2) 因为，若f(t) = 0， t t0 ，有yzs(t) = f(2t)=0, t 0.5 t0 。 综合举例 例 某LTI因果连续系统，起始状态为x(0–)。已知，当x(0–) =1，