第2讲两直线的位置联系和距离公式.doc

第二讲 两直线的位置关系及距离公式 【考纲要求】： 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直两直线的交点坐标掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式会求两条平行直线间的距离 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2. l1∥l2? l1⊥l2?k1·k2＝-1. 对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. l1∥l2?A1B2＝A2B1且A2C1≠A1C2(或B1C2≠B2C1)． l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0. l1与l2相交?A1B2A2B1 (2)两条直线的交点 如果两直线l1与l2相交，则交点的坐标一定是两条直线方程组成的方程组的解；反之，如果两直线方程组成的方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l1和l2的交点． 2.基本性质：（定理和公式） (1)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 (2)求两平行线l1、l2距离的方法： ①求一条直线上一点到另一条直线的距离 ②设l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0 3.基本方法： 对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. (1)用比例关系判断相交， 平行，判断重合，便于记忆，应用方便. (2)直线l1：Ax＋By＋C＝0，直线l∥l1时，可设l：Ax＋By＋C1＝0； l⊥l1时，可设l：Bx－Ay＋C1＝0. (3)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1与l2交于点P，过点P的直线l可设为(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0（l2除外）. 4.易错警示： (1)判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形，在两条直线l1、l2的斜率都存在，且不重合的条件下，才有l1∥l2?k1＝k2与l1⊥l2?k1k2＝－1. (2)用直线的一般式方程判断两直线的位置关系时，A1A2＋B1B2＝0?两直线垂直，但A1B2－A2B1＝0与两直线平行不等价． (3)利用公式求两条平行直线间距离时，必须注意两条直线方程的x、y的系数应分别相等。 【例题精析】： 考点1：两条直线平行与垂直的条件a为何值时,直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直; ⑵已知直线l1:(m+2)x+(m2-3m)y+4=0，l2：2x+4(m-3)y-1=0，如果l1//l2,求m的值； (3)已知直线l1:ax+2y+6=0, l2：x+(a-1)y+a2-1=0，如果l1//l2,求a的值. 解：（1） （2），经检验m=3或m=-4既为所求； （3），当a=2时，l1与 l2重合，故舍去，经检验a=-1为所求. 点评：两直线的平行或垂直可以用斜率来解，但要考虑斜率不存在时对字母的讨论。如此例中的（1）a=1（2）m=3的情形。 变式1： 已知直线l1经过点A(2,a),B(a-1,3),直线l2经过点C(1,2),D(-3,a+2). (1)若l1∥l2,求a的值; (2)若l1⊥l2,求a的值. 解：方法一：由题意点P(2,3)在两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0上，所以有 即为所求过Q1、Q2的直线方程。 方法二：由题意点P(2,3)在两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0上， 所以有，，即两点都在直线2x+3y+1=0上，因为两点确定一条直线，所以2x+3y+1=0即为所求过Q1、Q2的直线方程。 点评：方法二注意到确定直线的条件，使解题简化。 变式2：已知直线(m＋2)x－(2m－1)y－3(m－4)＝0. (1)求证：不论m怎样变化，直线恒过定点； (2)求原点(0,0)到直线的距离的最大值． 的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角），设P4坐标为（的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 解：如图：P0(1,0),P0关于BC的对称点M1(3,0),M1关于DC的对称点M2(3,2),M2关于AD对称点M3(-3,2), 设P4(x4,0) ， 也可充分利用几何图形，通过临界位置，找出取值范围，可令x4=1，此时P4与P0重合，依据入射角等于反射角，即知P1、P2和P3均为各边的中点，此时，而选择支中只有C以为临界，故选C. 点评：①本题将台球运动与数学知识有机地结合，考查学生灵活处理代数与几何相结合问题的能力；②解决对称问题要抓住入射角等于反射角这个关键，从而转化为求对称点的坐标，使问题得以解决。 变式3：（绍兴模拟）直角坐标系xOy中，坐标原点O(0,0),以动直线l:y=mx+n(m,n∈R)为