第6节空间直线和其方程.doc

第六节 空间直线及其方程 教学目的：介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点 教学重点：1.直线方程 2.直线与平面的综合题 教学难点：1.直线的几种表达式 2.直线与平面的综合题 教学内容： 一、空间直线的一般方程 空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为： 二、空间直线的对称式方程与参数方程 平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。 已知直线上的一点和它的一方向向量，设直线上任一点为，那么与s平行，由平行的坐标表示式有： 此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。（写时参照书上注释） 如设 就可将对称式方程变成参数方程（t为参数） 三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。 例1：用对称式方程及参数方程表示直线． 解：在直线上任取一点，取， 解得，即直线上点坐标． 因所求直线与两平面的法向量都垂直， 取， 对称式方程为： 参数方程：　　． 例2： 一直线过点，且和轴垂直相交，求其方程． 解：因为直线和轴垂直相交，所以交点为，于是 取， 所求直线方程： 三、两直线的夹角： 两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。 设两直线和的方向向量依次为和，两直线的夹角可以按两向量夹角公式来计算 两直线和垂直： （充分必要条件） 两直线和平行： （充分必要条件） 例3：求过点且与两平面和的交线平行的直线方程． 解：设所求直线的方向向量为，根据题意知，直线的方向向量与两个平面的法向量都垂直，所以可以取， 所求直线的方程． 四、直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为。 设直线的方向向量为，平面的法线向量为，直线与平面的夹角为，那么 直线与平面垂直：s//n ， 相当于 （充分必要条件） 直线与平面平行：sn ，相当于 （充分必要条件） 平面束方程： 过平面直线的平面束方程为 五、杂例： 例1：求与两平面x－4z＝3和2x－y－5z＝1的交线平行且过点（－3，2，5）的直线方程。 解：由于直线的方向向量与两平面的交线的方向向量平行，故直线的方向向量s一定与两平面的法线向量垂直，所以 因此，所求直线的方程为 例2：求过点（2，1，3）且与直线垂直相交的直线方程． 解：先作一平面过点（2，1，3）且垂直于已知直线（即以已知直线的方向向量为平面的法线向量），这平面的方程为 再求已知直线与这平面的交点。将已知直线改成参数方程形式为 x= -1+3t y=1+2t z=-t 并代入上面的平面方程中去，求得t＝，从而求得交点为． 以此交点为起点、已知点为终点可以构成向量s即为所求直线的方向向量： 故所求直线方程为 例3：求直线 在平面上的投影直线的方程． 解：应用平面束的方法． 设过直线的平面束方程为 即 这平面与已知平面垂直的条件是 解之得 代入平面束方程中得投影平面方程为 y－z－1＝0 所以投影直线为 小结与思考：本节介绍了空间直线的一般方程，空间直线的对称式方程与参数方程，两直线的夹角（注意两直线的位置关系），直线与平面的夹角（注意直线与平面的位置关系）。 作业：见作业本7.6