第一章直线和平面两个平面垂直的判定和性质〔二〕.doc

高中立体几何教案 第一章 直线和平面 两个平面垂直的判定和性质（二）教案 教学目标1．使学生掌握两个平面垂直的性质定理及其证明．并能应用判定定理和性质定理解决简单问题；2．通过两个定理的两种引入方式，培养学生观察，归纳、猜想、证明的科学思维方式及辩证思维能力．教学重点和难点性质定理的引入及证明．教学用具两个互相垂直的平面，一根直的细木棍．教学设计过程师：上一节课我们学习了面面垂直的定义和判定面面垂直的定理．如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．判定定理是用来判定两个平面垂直的方法．请问判定定理是如何叙述的呢？生：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．师：好．应用定理的关键是在其中一个平面中寻找另一个平面的垂线．下面我们一起来解决上节课留的思考题．（板书）如图，四边形BCDE是正方形，AB⊥面BCDE，则图中所示7个平面中，有几对平面互相垂直？　　　　　　　　　　　　　　　　　 生：共7组．AB⊥面BCDE，所以 面ABE⊥面BCDE，面ABC⊥面BCDE，面ABD⊥面BCDE，且AB⊥BC，AB⊥CE，AB⊥CD．又正方形BCDE，所以 BC⊥BE，所以 BC⊥面ABE．因为 面ABC⊥面ABE，因为 DE//BC，所以 DE⊥面ABE，故 面ADE⊥面ABE．又 CD⊥BC，因为 CD⊥面ABC，所以 面ACD⊥面ABC．又 CE⊥BD，所以 CE⊥面ABD，故 面ACE⊥面ABD．师：通过对本题的研究，我们对判定定理有了更深入的理解．下面我们一起来研究面面垂直有哪些性质．生：两个平面互相垂直，所成的二面角是直二面角．师：很好．这是由定义的双重性得到的，定义既提供了两个平面垂直的判定方法，又指出了两个平面互相垂直的性质．上节课我们由线面垂直，推出面面垂直，也就是面面垂直的判定定理．那么现在从面面垂直出发，能否得到线面垂直呢？（取出教具，并拿细木棍在其中一个面上移动）生：当根与棱垂直时，根与另一平面垂直．师：很好．如果棍与棱不垂直时，棍与面垂直吗？生：不垂直．师：好．也就是说只有当棍与棱垂直时，棍才与面垂直．那么是不是与棱垂直，就一定与面垂直呢？（保持棍与棱相交且垂直，将棱移开平面，使之与平面不垂直）生：不是，棍必须在平面内．师：意思是说当棍在面内时，如果棍与棱垂直，则它与面垂直．好，请你整理一下刚才的想法，该怎样叙述这个命题的内容呢？注意面面垂直的大前提．生：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．师：很好，下面我们一起来完成命题的证明．先分析命题的条件和结论，然后画出图形，再结合图形，用符号语言叙述已知，求证． 师：好．利用两个平面垂直的定义，作出直线CD⊥AB，最终证明了AB⊥β．它就是面面垂直的性质定理．也可称为线面垂直的判定定理．（板书）剖析：（1）面面垂直→线面垂直（2）为判定或作出线面垂直提供依据．师：这个定理由面面垂直出发，借助于线线垂直，结论是线面垂直．给我们提供了解决线面垂直的一种新的思路--寻找面面垂直．这一点也是这一定理最突出的作用．师：下面继续来看，保持面面垂直的条件不变，交换一下命题的条件和结论，看看结论是否有价值．（与学生一起分析得出） 则CD⊥a，CE⊥a．所以在平面γ内，有两条直线CD，CE，同时垂直直线a，这与平面几何定理矛盾！所以 CD α．师：很好．这也是面面垂直的一个性质，它的作用是判定直线在平面内．用语言叙述就是：（板书在命题1的位置）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．师：请同学们打开书p．41．书上给出了面面垂直的两个性质定理．我们看一下定理的证明．看书的同时，指出书上所用的证明方法是同一法，有唯一性定理做保证．定理内容是：经过空间一点有且只有一条直线与一个平面垂直．师：上面我们研究了面面垂直的两个性质定理．定理1是判定线面垂直的有效方法，性质2是判定直线在平面内的一种方法．从应用上看，定理1更广泛一些．例 垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面． 因为 α⊥γ，所以 b α，因为 β⊥γ，因此 b β，故 α∩=b．由已知 α∩β=a，所以 a与b重合，所以 a⊥γ．证法三： 设α⊥γ于b，β⊥β于C．在α内作b′⊥b，所以 b′⊥γ．同理在β内作C′⊥C，有C′⊥γ，所以 b′∥c′，又b′ β，c′ β，所以 b′∥β．又 b′ α，α∩β=a，所以 b′∥a，故 a⊥γ．师：这道题的三种证法，从三个不同角度入手，解决了线面垂直的问题，证法一利用线线垂直得面面垂直的判定定理．证法二通过面面垂