《高等数学》课件2–1微商的概念.pptVIP

第二章 微积分的基本概念 2-1 微商的概念 1. 微商的定义 函数的增量： 假定函数 y=f(x) 在点 的某个邻域内有定义.当自变量 x 在这邻域内从 变到时 ， 函数y相应地从 变到 ，因此函数的对应增量为 o x y y = f(x) x0 x0+ Δx f(x0) Δx Δy 首先介绍变量的增量概念. 自由落体运动 设描述质点运动位置的函数为 计算在时刻 的瞬时速度. 则 到 的平均速度为 而在 时刻的瞬时速度为 物体沿直线运动的瞬时速度 自由落体运动 例：求自由落体运动: 2. 曲线的切线斜率 曲线 在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T (当 时) 割线 M N 的斜率 切线 MT 的斜率 两个问题的共性: 瞬时速度 切线斜率 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变化率问题 定义 说明 表示 在点 的某个右 邻域内 单侧导数 若极限 则称此极限值为 在 处的右 导数, 记作 (左) (左) 定义2 . 设函数 有定义, 存在, 即 显然: 函数在一点可导 其左右导数都保存并相等. 例 证明函数 在 x = 0 不可导. 证 在 x = 0 不可导. 所以 导函数 记作: 若在区间(a,b)内每一点x处函数f(x)都可导，则 称f(x)在(a,b)内可导.这时每一个 都对应一个导 数值 ，这样便定义出一个新的函数 ，它被称 为f(x)的导函数. 例1 求函数 (C 为常数) 的导数. 解 简单地说，常函数的导函数为零. 在一个区间内导数恒为0的函数是一个常数函数. 例 2 解 求函数f(x)=sinx的导数. 即 例4 设m为一自然数，则 证 说明： 对一般幂函数 ( 为常数) （以后将证明） 例如， 例 5 求 的导数. 解 例 6 求 的导数. 解 函数的可导性与连续性的关系 设 在点 处可导, 即 也就是说， 我们令 那么， 时 两边乘上 ，得 0 0 即 说明f(x)在点 连续. 注意: 函数在点 连续未必可导. 反例: 在 x = 0 处连续 , 但不可导. 又例如 在x=0点是连续的，但它在该点是不可导的. 在图形中曲线 在原点o具 有垂直于x轴的切线x=0. O y x 函数在某点连续是函数在该点可导 的必要条件，但不是充分条件 . 再举一个例： 在前一个例子中，曲线在(0,0)处是一个尖角.两侧的 割线有不同的极限位置，即有左、右切线，故在该点没 有切线.在后一个例子中，曲线在(0,0)点的切线垂直于 x 轴,因而其与x轴夹角的正切为 ，导致导数的不存在. 由于 ，故它显然在x=0点是连续的. 但该函 数 在x=0点是不可导的. 极限不存在 . 因为 内容小结 1. 导数的实质: 3. 导数的几何意义: 4. 可导必连续, 但连续不一定可导; 5. 已学求导公式 : 6. 判断可导性 不连续, 一定不可导. 直接用导数定义; 看左右导数是否存在且相等. 2. 增量比的极限; 切线的斜率; 思考与练习 1. 函数 在某点 处的导数 区别: 是函数 , 是数值; 联系: 注意: 有什么区别与联系 ? ？ 与导函数 2. 设 存在 , 则 3. 已知 则 4. 若 时, 恒有 问 是否在 可导? 解: 由题设 由夹逼准则 故 在 可导, 且 5. 设 , 问 a 取何值时, 在 都存在 , 并求出 解: 故 时 此时 在 都存在, 显然该函数在 x = 0 连续 . 2、微商的四则运算 定理1. 的和、 差、 积、 商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 此法则可推广到任意有限项的情形. 证: