一正〔负〕定二次型的概念.ppt

一、正(负)定二次型的概念 二、正(负)定二次型的判别 四、小结 思考题 思考题解答 * §5-4 正定二次型 本节中讨论实数域上(正惯性指数等于二次型阶数)占有特殊地位的二次型－正定二次型。 为正定二次型 为负定二次型 例如 实二次型 是正定的当且仅当 证明 Definition 5 .称实对称矩阵A为正定矩阵,若A确定的二次型 X’AX 是正定二次型. 一个实对称矩阵A是正定的充分必要条件是矩阵A与单位矩阵合同. 推论:正定矩阵的行列式大于零. 这个定理称为霍尔维茨定理． 定理6 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶主子式为正，即 对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正，即 证明：必要性：设二次型 是正定的。对于每个k,1≤k≤n，令 对任意一组不全为零的实数 , 有 因此 是正定的。 由推论， 的矩阵行列式 0 k=1,…,n.这说明矩阵A的顺序主子式全大于零。 充分性：用数学归纳法证明. 正定矩阵具有以下一些简单性质 3.非退化的线性替换保持正定性不变 例1 判别二次型 是否正定. 解 它的顺序主子式 故上述二次型是正定的. 例3 判别二次型 的正定性. 解 2.　正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法； (2)顺次主子式判别法； (3)特征值判别法. 　　1.　正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系． 　　3.　根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导． 作业：P238－7～11 *