中南大学随机过程第5章.ppt

计算机科学与工程学院　顾小丰 随机过程与排队论 数学科学与计算技术学院 胡朝明 Email：math_hu2000@csu.edu.cn * 上一讲内容回顾 独立增量过程 正态过程 维纳过程 本讲主要内容 泊松过程 泊松过程的两个定义及其等价性 泊松过程的概率分布 泊松过程的数字特征 泊松过程的性质 非齐次泊松过程 复合泊松过程 更新计数过程 3.泊松过程 泊松过程是一种很重要的计数过程，它在随机过 程的理论和应用方面都起着重要的作用，特别在 运筹学和排队论中的作用更为显著。 泊松过程的实例很多，例如：在[0,t)时间内， 到达某超级市场的顾客数N(t)； 某电话交换台的呼唤数N(t)； 某车间发生故障的机器数N(t)； 某计数器接受到的粒子数N(t)； 某通信系统出现的误码数N(t)； 等等，{N(t),t?0}都是泊松过程的典型实例。 泊松过程的定义1 如果取非负整数值的计数过程{N(t),t?0}满足： N(0)＝0； 具有独立增量； 对任意0?st,N(t)-N(s)服从参数为?(t-s)泊松分布， 泊松过程的定义2 如果取非负整数值得计数过程{N(t),t?0}满足下 列条件： N(0)＝0； 具有平稳独立增量； P{N(h)=1}＝?h+o(h)； P{N(h)?2}＝o(h) 则称{N(t),t?0}为参数(或平均率、强度)为?的(齐次) 泊松过程。 等价定理 定理 泊松过程的定义1与定义2是等价的。 证明 2?1：条件1)与a)相同。条件2)由b)直接得到。只要证明：N(t)(t?0)服从参数为?t泊松分布。 设pk(t)＝P{N(t)=k}，利用归纳法证明： 证明(续1) (2) k?1 证明(续2) k=1时, 泊松过程的概率分布和数字特征 一维概率分布及均值和方差函数 对任意t0,N(t)～?(?t), P{N(t)=k}＝ 泊松过程的概率分布和数字特征 二维概率分布 泊松过程的概率分布和数字特征 协方差函数和相关函数 协方差函数 C(s,t)＝?min(s,t)， 相关函数 R(s,t)＝?min(s,t)＋?2st。 泊松过程的性质1 泊松过程是平稳独立增量过程； 泊松过程的性质2 设{N(t),t?0}是参数为?的泊松过程，{Tn,n=1,2,…}为点 间间距序列，则Tn,n=1,2,…是相互独立同分布的随机变 量，且都服从参数为?的(负)指数分布。 T1的概率密度为 当s＝0时，可见T2也服从参数为λ的（负）指数分布且T2与T1独立同分布。 类似地，可用数学归纳法证明当n2时，Tn，n=1,2,…相互独立，都参数为λ的（负）指数分布。 泊松过程的性质3 设{N(t),t?0}是参数为?的泊松过程，{?n,n=1,2, …}为等待时间序列，则? n～?(n,?)，即概率密度 为： 非齐次泊松过程 如果计数过程{N(t),t?0}满足下列条件： N(0)＝0； {N(t),t?0}是独立增量过程； P{N(t+?t)-N(t)=1}＝?(t)?t+0(?t)； P{N(t+?t)-N(t)?2}＝0(?t) 则称{N(t),t?0}为参数(或平均率、强度)为?(t)的非齐次泊松过程。特别，当?(t)=?时，即为齐次泊松过程。 例 某镇有一小商店，每日8:00开始营业。从8:00到11:00平均顾客到达率线性增加，在8:00顾客平均到达5人/小时；11:00到达率达最高峰20人/小时。从11:00到13:00平均顾客到达率为20人/小时。从13:00到17:00平均顾客到达率线性下降，17:00顾客到达率为12人/小时。假设在不相交的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，试问在8:30到9:30时间内无顾客到达商店的概率为多少？在这段时间机内到达商店的顾客的均值为多少？ 解 设8:00为t=0，11:00为t=3，13:00为t=5，17:00为t=9，第二天8:00可以为t=9。于是，顾客到达率是周期为9的函数： 复合泊松过程 设{N(t),t?0}是参数为?的泊松过程，{Yn，n=1,2,…}是相互独立同分布的随机变量序列，且{N(t),t?0}与{Yn，n=1,2,…}相互独立，令 更新计数过程 设{N(t),t?0}是计数过程，如果它的时间间距T1,T2, 更新过程的概率分布 设{N(t),t?0}是更新过程，其到达的时间为?1,?2,…, ?n。时间间距T1=?1,T2=?2-?1,Tn=?n-?n-1相互独立都与随机变量T同分布。设T的分布函数为FT(t)，故Tk的分布函数为FTk(t)＝FT(t)，k=1,2,… 更新过程的均值函数 设{N(t),t?0}是更新过程，则 本讲主要内容 泊松过程 泊松过程的两个定义及