§17.7幂分布函数的数值模拟.PDF

源自：/ZCL/index.htm §17.7 幂分布函数的数值模拟 第十二章介绍斩乱麻问题时曾经给出了一种数值实验的方法以获得一个服 从负指数随机数值系列。现在我们要给出一种方法，以得到一个服从幂函数分布 的数值系列。具体地说，我们要生产一批数据（如数百个），它的几何平均值必 须等于给定值m ，而各个数据的取值又是最任意、最随机、最混乱的。其做法是 （这里给的是标志变量的最小值是1 的情况，小做变动也可以推广到任何大于零 的实数） 1. 如果变量的最小值是1，几何平均值是m ，变量的总个数有N 个，令 Q=Nlnm 。 2. 利用电脑生产N-1 个界于0-1 之间的服从均匀分布的随机数—满足最任意 的要求，并且分别乘以Q，得到数列A 。MICROSOFT 的OFFICE 软件中的EXCEL 就可以得到这些数。 3. 把数列A 的数据按升序由小到大排列，并且在首尾分别补上0 和Q，得 到数列B 。它显应当是N+1 个数。 4. 把数列B 中的各个相邻的两个数做减法（大减小），就得到具有N 个数 的数列C 。 5. 数列C 中的N 个数值有大有小，分别代表了N 个标志变量的对数的值。 统计不同数值的数据各有多少个（笔者用origin5.0 软件）。 6. 设不同的数据x ,x ,…,x 对应的个数分别是 n ,n ,…,n ，把n ,n ,…,n 分 1 2 k 1 2 k 1 2 k 别取对数。就得到k 对数：(x ;lnn ), (x ;lnn ) ，…，(x ;lnn )在以lnn 为纵坐标，x 1 1 2 2 k k 为横坐标的直角坐标图上点上这k 个点。 7. 如果这些点都集中在一条直线附近，就说明变量的出现频率的对数与变 量x 存在直线关系。 源自：/ZCL/index.htm 8. 把数列C 中的各N 个变量值x 分别求exp （x ）就得到真正的满足几何 i i 平均值为m 的N 个随机数y 。这些数据才是符合幂分布的标志变量。 i 9. 对得到的直线求直线拟合公式，对拟合公式中的常数做变换就得到对原始 的标志变量的幂分布公式。 图17.5 是我们做的一个数值模拟实验。我们取其几何平均值为5，最小值是 1，数据个数是500 。图中有圆点的实线（折线）是实验数据的实际值，而虚线 是对这个结果再模拟出来的直线。我们看到实际的折线与选配的直线非常接近。 它说明标志值取对数以后确实与其出现次数的对数值是直线关系。而依照前面的 分析，这正是幂分布函数的特点。所以这个直线说明了原变量服从幂分布。 图17.5 对幂分布的一个数值实验结果 为什么这样做数值实验得到的数据满足最初的设定？细说每个环节费笔墨， 现在仅分析这个数据的各个变量的几何平均值是什么。 数列C 包括了500 个数据。根据操作的步骤，这些数据的合计值显然等于 500ln5 。即500ln5=∑xi 源自：/ZCL/index.htm 上面的求和对应500 个数相加。我们曾经利用 exp(x )=y 得到了500 个y 的 i i i 值。并且说y 就是符合幂分布的数列。而根据这里的关系显然ln y = x 。 i i i 于是500ln5=∑x =∑lny