二次函数图象问题的处理策略.doc

二次函数图象问题的处理策略 二次函数作为中学数学学习的核心版块之一，需要学生熟练的掌握基本性质，达到灵活应用．二次函数的图象，给学生提供了解决问题的工具，熟练应用不仅使学生掌握了本块知识，也使学生在学习中自然获得逻辑推理、数形结合、函数变化等思想，从而为进一步学习奠定扎实的基础。本文就有关二次函数图象问题分类讨论，以期找到解决这类问题的一般方法． 一、二次函数图象的识图 例1 的图象如图l所示，则点M在( )． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析 由图可知：抛物线开口向上==O；抛物线与负半轴相交==C0；对称轴在y轴右侧==0．由以上条件可知0．∴点M在第一象限答案：A 例2如图2，抛物线，经过A(0)、B(0，一3)两点，此抛物线的对称轴为直线，顶点为C，且与直线AB交于点D．(1)求此抛物线的解析式； (2)直接写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；(3)连接BC。求证：BC=CD． 解析(1)将A、B两点坐标代人解析式，可解得 ，由此可知此抛物线的解析式： (2)由（1)知抛物线的对称为，顶点C坐标为(，一4)．(3)过A、B两点的直线的解析式为，所以当时，，D点的纵坐标为一6．则．作BE垂直于于点E，则BE=，CE=4—3=1．由勾股定理得，所以BC=DC． 点评对于已知的抛物线，要从图象中捕获出有用信号，从图象的开口、横纵轴上的截距、已知点确定出自变量的系数、对称轴、顶点坐标，从而应用二次函数的性质来解决所涉及到的问题．准确的识图是解题的基础，应用二次函数的性质是解题的关键． 二、利用已知条件确定函数的图象 例3 已知一次函数，二次函数，它们在同一坐标系中的大致图象是( )． 分析先讨论、c的符号情况，判断直线的位置特征；再结合的符号，考虑抛物线的位置特征．答案：D． 点评一次函数与二次函数的系数用相同字母表示，意味着一次函数的直线图象的倾斜方向与二次函数的开口方向有关联，两个图象的横纵轴的截距有了联系，进而使二次函数对称轴、顶点坐标有了确定的性质，从而能够确定图象． 三、利用图象解决问题 例4我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”；如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图4，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(O，一3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1，0)，半圆半径为2．(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗?试试看；(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式． 解析 (1)解法1：根据题意可得A(一1，0)，B(3，0)，则设抛物线的解析式为 ，又点D(0，一3)在抛物线上，∴ (0+1)(0—3)= 3，解 之得=1∴．自变量范围：一1≤≤3． 解法2设抛物线的解析式为根据题意可知A(一1，O)，B(3，O)，D(0，一3)三点都在抛物线上 ，∴，解之得， ∴，自变量范围：一1≤≤3． (2)设经过点C‘‘蛋圆”的切线CE交轴于点E，连结CM．在Rt△MOC中，∵OM=1，CM=2，∴∠CMO=60°，OC=在Rt△MCE中，∵OC=2，∠CMO=60°，∴ME=4．点C、E的坐标分别为(0，)，(一3，0)．∴切线CE的解析式为． (3)设过点D(0，一3)，“蛋圆”切线的解析式为．由题意可知方程组只有一组解．即有两个相等实根，可得． ∴过点D“蛋圆”切线的解析式． 点评 一般地，已知抛物线与轴的两交点坐标，则一般设解析式为，代人条件即可求解；若已知抛物线上任意三点(或任意3对，y的值)可设表达式为，组成三元一次方程组来求解；如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值，可选用来求解．对于直线方程，根据已知条件，找到直线过的两点，代人一次函数数表达式即可求解．抛物线的切线，意味切线方程与抛物线只有一个交点，可组成二元二次方程组，求只有一解即可获解