从牛顿二项式定理开方到牛顿切线法.PDF

數學傳播 34 卷 4 期, pp. 87-90 從牛頓二項式定理開方到牛頓切線法 王曉明 · 王蕊珂 一. 問題的提出 在數學中, 再也沒有比開方更加 自然的事了 , 當人類產生了自然數概念並且規定了四則運 算之後, 人們發現, 如果按照乘法性質, 一個數 自身相乘的逆行運算是一件不太容易的事情。 一 個整數 自身相乘以後是比較容易找到原來那個整數的, 例如 2 自身相乘 5次是 32, 從 32我們也 容易找到 2, 但是, 如果是 31, 30 呢, 開 5次方就不太容易了。 自從牛頓發現二項式定理以後, 人 們知道開方是依據二項式定理展開的。 但是, 畢竟太麻煩。 有沒有一個簡單的方式或者公式來開 方呢? 二. 一個意外 √ n n A, 我們想求 X , 即開方 n 次, 當: 設 A = X , X = A ÷ Xn−1 = X. (1) @ 我們把右下角標打上了 (@) 的 X@ 表示我們預設的那個 X , 把右下角沒有 @ 的 X 視 作 A ÷ Xn−1 以後得出的商。 @ 有三種情況: 一. 我們取的初始值 X , 與等式右邊的 X 一致時, 問題就解決了, 例如 32/24 = 2; @ 二. 我們取的初始值 X 偏小, A/Xn−1 X , 例如 45/24 = 2.8125 2。 (1) 式 @ @ @ A/Xn−1 = X , 於是 X X , X − X = E。 例如: 2.8125 − 2 = 0.8125 是 @ 0 @ 0 0 @ 一個正值, 我們把這個正值分解 E/n 再加回去就可以調節原來取了偏小的初始值, 使之 變大; (因為 A 開 n 次方, 就是將 X 自乘 n 次的數值分解 n 次, 所以也就 自然而然地想 到其誤差 E 也要分解 n 份, 即 E/n)。 87 88 數學傳播 34 卷 4 期 民 99 年 12 月 三. 我們取的初始值 X 偏大, A/Xn−1 X , 例如 30/24 = 1.875 2, (1) 式 @ @ @ A/Xn−1 = X , 於是 X X , X − X = −E。 例如 1.875 − 2 = −0.125, @ 0 @ 0 0 @ 我們把這個負值 −E 分解 −E/n 再加回去, 就可以調節原來取得偏大的初始值, 使之變 小。 四. 於是我們得到: 1 X = X + (A/Xn−1 − X ) , (K = 0, 1, 2, 3,4, . . ..) (2) k+1 k K k n 五. 我們用 (2) 式來開方。 例如我們開平方, 即 n = 2。 X = √A, 公式: 1 X = X + (A/X2−1 − X ) , (3)