怪物与月光（MonsterandMoonshine）.PDF

數學傳播 35 卷 4 期, pp. 23-33 怪物與月光 (Monster and Moonshine) 一一 淺談 1998年 Fields Medal 得主 Richard Borcherds 的數學工作1 演 講 : 林正洪 時 間 : 民國100年 11 月24 日 地 點 : 成功大學 國家理論科學研究中心 (南區) 204室 整 理 : 陳麗伍 介紹 (成功大學數學 系許瑞麟主任): 很 高興今天邀請到我們早年的 同伴從 中研院回來給這 場關於 1998年菲爾茲獎得主 Richard Borcherds 數學工作的演講。 光看演講 的題 目就很有吸 引力, 我希望大家可以真正學到些東西, 就讓我們開始吧。 今天的演講題 目 「怪物與 月光」 有點不大像數學。 如果你來這邊覺得會聽到我談 月光怪獸, 對不起, 今天不談 月光怪獸, 也不說 月光之下的怪獸, 我們今天談的是實實在在的數學問題。 也 許你會感到疑惑, 為什麼名字那麼奇怪, 怪獸與 月光, 我希望大致解釋一下為什麼用這樣的名字 來看數學問題, 另一個很重要的問題是 Richard Borcherds 在這個 月光與怪獸之間做了些什 麼事情, 讓他獲得 1998年的菲爾茲獎, 這是最主要要說的內容, 當然這之間多少會提到些數學, 有些簡單, 有些較難。 但是我希望大家可以趁此機會了解, 其實數學家並不是像大家想像中那樣 死板, 我們想的東西其實有很多是跟一般人一樣。 首先, Monster 是什麼, 第二個問題 Moonshine 月光是什麼, 為什麼用那麼奇怪的名 字命名數學問題。 當然, 除了解釋是什麼之外, 也會提到為什麼是有趣的, 或是說為什麼很特 別。 接下來, 簡單介紹一下 Richard Borcherds。 他的第一篇論文發表的時候只有 20 出頭, 在 25、26歲時就有些非常重要的結果。 我也會簡單地講一下他做了什麼事情, 有那些貢獻令我們對 Monster 和 Moonshine 有更好的瞭解。 1註: 感謝林正洪教授同意本刊刊載他於成功大學演講的演講紀錄。 本文下方註解為本刊所加, 非原稿所有, 希望能方便讀者閱讀, 並請讀 者將本篇與本期 「有朋 自遠方來」 一併閱讀。 23 24 數學傳播 35 卷 4 期 民 100年 12 月 什麼是 Monster? 什麼是 Moonshine? 要瞭解這個問題必須要先知道一般人對 Mon- ster 與 Moonshine 的印象是什麼, 接著才延伸到數學問題, 然後你就會發現 Monster 與 Moonshine 這兩個稱呼是有其意義。 一旦瞭解它背後的意義, 就會發現這兩個命名一點都不奇 怪。 那什麼是 Monster? 根據字典的定義, 所謂的怪物一般是想像的、 既大又醜又可怕。 我們 的重點就在大與可怕。 美醜是主觀的我們忽略不多談, 但是, 大是一定要夠的。 日本人對 Mon- ster 有其他的想法, 他們的怪物可以是小巧可愛的, 例如皮卡丘等, 與之前的定義相反。 目前研 究 Monster 的數學家中有很多是日本人, 對他們來說這是非常漂亮、 可愛的。 那麼 Moonshine 是什麼? 用中文來說就是月光, 意思是什麼? 一種解釋是不是很亮、 模糊不清、 但漂亮的。 另一種比較靠近我們今天主題的解釋是不大實在、 空妄的, 英文有一句 厘語 「moonshine in the water」, 也就是中文的水中月, 看得到摸不到, 不實在, 虛無飄渺 的。 所以某種程度來說, 為什麼命名為月光, 是因為它是不實在的, 沒有可以觸摸的方法, 不知 道會發生什麼事情。 另一種解釋是英文的厘語, moonshine 指的是走私或私釀的酒。 如果在網 路上搜尋 moonshine, 可以看到許多酒精私釀的圖片。 等一下大家就會知道為什麼要命名為 moonshine, 因為它就像私釀酒一樣, 還沒有取得合法的資格。 實際上我們所說的 Monster 是什麼, 簡單的說它是個有限群 (finite group)。 如果學過代 數, 就會知道什麼是有限群, 是在研究些什麼東西。 Monster是最大的一個散在單群 (sporadic simp