2003年A题全国数学建模优秀论文1.pdf

摘要 SARS 时疫对中国社会发展产生了重大影响，本论文以传统的微分方程 为理论基础，以2003 年6 月以前的有关SARS 的数据为参考资料，着重从数学 的角度研究和预测其发展趋势，提出了控制前的自然传播模型和控制后的传播模 型，重点分析了控后模型，并根据各参数对疫情的影响对北京、内蒙古、广东、 香港四个SARS 重点疫区的疫情作了详细的分析，并提出了应对SARS 时疫的若 干对策。最后针对微分方程自身的缺陷提出了模型的改进方向和思路。 关键词：微分方程 概率平均 曲线拟合 一. 问题的提出 2003 年春天，SARS 这一突发疫情袭击了世界上 20 多个国家和地区，中国首当其冲， 且受其影响最大。面对突如其来的灾害，中国人民在党中央和国务院的统一指导下，迅速展 开了抗击SARS 的顽强斗争。尽管SARS 作为一种时疫尚未过去，人类与SARS 的斗争可能 才刚刚开始，但SARS 时疫对我国社会发展的影响迫切需要我们进行理性的思考，并为抗击 SARS 时疫并取得阶段性胜利提出有价值的建设性意义。 二．数学模型的分析与建立  分析与假设 在SARS 爆发的初期, 由于潜伏期的存在, 社会对病SARS 毒传播的速度和危害程度认 识不够, 所以政府和公众并不以为然; 当人们发现被感染者不断增加时, 政府开始采取多种 措施以控制SARS 的进一步蔓延.所以SARS 的传播规律可以分为三个阶段: I. 控制前, 接近于自然传播时的传播模式。 II. 过渡期，在公众开始意识到SARS 的严重性到政府采取得力措施前的一段时间 内。 III. 控制后,在介入人为因素之后的传播模式。 但是，除了广东和香港地区外，内地的其他城市都是在SARS 刚刚大肆传播就采取了很 强有力的措施，因此，这些地区的过渡期都可以包括在控后期；而广东和香港的情况虽然有 一些不同，但根据我们的分析和模拟，这两个地区也可以用两个阶段即“控制前（包括控制 力度不大的阶段）”和“控制后”来较好的符合采集到的数据，因此，我们统一将所有地区 的SARS 传播规律用“控制前”和“控制后”两个时期来模拟。 另外,社会,经济,文化,风俗习惯等因素都会影响SARS 的传播及最终的结果, 但是, 最直 接的因素是: 自由传染者的数量及其在健康人群中的分布, 被传染者的数量, 传播形式及病 毒本身的传播能力等。在建立模型时不可能也没有必要考虑所有的因素, 只能抓主要的因素 进行合理的假设和建模。 由此,我们作如下的假设:  总体假设：国家卫生部提供的全国疫情统计真实可信。  控制前(包括控制力度不大的阶段) 的传播模型的相关假设 1.将SARS 所有可能的传播途径都视为与病源的直接接触。 2. 在疾病传播期内所考察的地区的总人数N 视为常数,即认为本地区流入的人口与 流入的人口数相等,时间以天为计量单位。 3. 设每个病人单位时间有效接触的人数 (所谓“有效接触”是指病人与健康者接  触时,足以使健康者受到感染而成为病人)可视为常数。 4. 根据国家卫生部资料可知处于潜伏期的SARS 病人不具有传染性。 5.假设潜伏期为一常数(5 天) 。 6. 根据目前的医学调查资料，SARS 康复者尚未复发情况，因为对于一个SARS 康 复者，他势必会更注重自己的个人卫生习惯并主动远离SARS 传染源；从社会 心理学的角度来看，其身边的人会主动远离他。因此，我们可以假设一个SARS 康复者二度感染SARS 的概率为0，这些人既不是健康者(易感染者)，也不是病 人( 已感染者) ，他们已经退出传染体系，因此将他们归为“退出者”。 7. 由于SRAS 的传播时间不是很长(相比于传统的传染病, 比如天花,麻疹等)，故假 设不考虑这段时间内的人口出生率和自然死亡率，而对于由SARS 引起的死亡 人数,也将其归为“退出者”。 8.流入和流出的人群中的带菌者处于潜伏期。 9.将人群分为四类： 健康者(易受感染者) ：用S 表示健康者在人群中的比例。 处于潜伏期者：这些人还没发病，但他们最终将发