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关于逆函数的性质与定理 　　摘要: 本文给出了逆函数的定义,介绍了它的性质,并证明了关于逆函数的几个定理。 　　Abstract: In the paper,the definition and properties of converse function are proposed. It is proved to a few theorems on converse function. 　　关键词: 单位函数;逆函数;复合运算 　　Key words: unit function;converse function;composition operation 　　中图分类号:O171 文献标识码:A文章编号:1006-4311(2010)08-0181-01 　　 　　1逆函数的概念与性质 　　定义1 设D是一区间,如果?坌x∈D有I(x)=x,则称I(x)是定义在D的单位函数。 　　定义2 如果对于函数y=f(x),存在函数y=g(x)使得 　　f(x)?莓g(x)=f[g(x)]=I(x) 　　则称y=f(x)为可逆函数,且y=g(x)是y=f(x)的逆函数,记为f-1(x)。 　　记号“?莓”表示一种运算符号,这里表示复合运算。 　　逆函数有以下基本性质,其中D表示使等式有意义的自变量x的取值范围。 　　性质1 [f-1(x)]-1=f(x),x∈D。 　　性质2 f(x)?莓f-1(x)=f-1(x)?莓f(x)=I(x),x∈D。 　　以上两个性质的证明是明显的。 　　性质3如果f1,f2,…,fn都可逆,则f=f1?莓f2?莓…?莓fn-1?莓fn也可逆,且f-1=(f1?莓f2?莓…?莓fn-1?莓fn)-1=f?莓f?莓…?莓f?莓f,x∈D。 　　证首先不难证明函数的复合运算在取值范围内满足结合律[1],即 　　(f?莓g)?莓h=f?莓(g?莓h)=f?莓g?莓h, 　　其次有I(x)?莓f(x)?莓I(x)=f(x),所以 　　(f1?莓f2?莓…?莓fn-1?莓fn)?莓(f?莓f?莓…?莓f?莓f) 　　=f1?莓f2?莓…?莓fn-1?莓(fn?莓f)?莓f?莓…?莓f?莓f 　　=…=f1?莓(f2?莓f)?莓f 　　=f1?莓f=I(x) 　　由逆函数的定义知 　　(f1?莓f2?莓…?莓fn-1?莓fn)-1=f?莓f?莓…?莓f?莓f 　　上述逆函数的定义和性质具有一定的广泛性,如果将运算符号“?莓”赋予其它具体的含义,则数学在很多场合也有类似的概念和性质。例如,反函数的概念与性质,可逆矩阵的逆矩阵概念与性质,逆映射、逆变换的概念与性质,等等。 　　2几个定理 　　定理1如果函数y=f(x)是单调增加(减少)、连续的,则其逆函数y=f-1(x)也是单调增加(减少)、连续的。 　　证先证单调性[2]。不妨设y=f(x)是定义在D上的单调增加函数,?坌y1,y2∈f(D),且y1y2,则存在唯一的x1∈D,使f(x1)=y1,即f-1(y1)=x1同样知,存在唯一的x2∈D使f-1(y2)=x2 　　如果x1x2由于f(x)单调增加,必有y1y2,如果x1=x2,则显然有y1=y2,这与假设y1y2矛盾,故必有x1x2,即f-1(y1)f-1(y2)。因此,f-1在f(D)是单调增加的。 　　再证连续性[3]。任取内点y0∈f(D),则存在内点x0∈D,使x0=f-1(y0)。?坌ε0,取x1,x2∈D,且x1x0x2,使得x2-x0=x0-x1ε。 　　设y1=f(x1),y2=f(x2),由单调性知y1y0y2,令δ=min(y2-y0,y0-y1),此时(y0-δ,y0+δ)?奂(y1,y2)。当??Zy-y0??Zδ时,有y1?燮y0-δyy0+δ?燮y2,由于逆函数f-1也单调增加,得f-1(y1)f-1(y)f-1(y2),即x1x= 　　f-1(y)x2。又x1x0=f-1(y0)x2,所以 　　??Zf-1(y)-f-1(y0)??Z=??Zx-x0??Zx2-x0ε。 　　这就证明了f-1在点y0连续,从而f-1在内f(D)连续。 　　如果f(D)包含端点,类似地可证f-1在f(D)的左端点右连续,在f(D)的右端点左连续。 　　定理2设函数f(x)在某区间内单调,且在区间内某点f-1(x0)可微,其导数f′[f-1(x0)]≠0,则逆函数f-1(x)在x0处可微,且 　　(f-1)′(x0)= 　　证因为f[f-1(x)]=x,由复合函数求导法则,两端求x=x0处的导数,得 　　f′[f-1(x0)](f-1)′(x0)=1, 　　又f′[f-1(x0)]≠0所以 　　(f-1)′(x0